![](/user_photo/_userpic.png)
РГР №3 (Математика)
.docx-
Теорема Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Тогда если f(x) дифференцируем в точке х(нулевое),то f’(x)=0
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, тоf′(x0)=0.
2)Теорема Ролля
Теорема.
Пусть функция
дифференцируема в открытом промежутке
,
на концах этого промежутка сохраняет
непрерывность и принимает одинаковые
значения:
.
Тогда существует точка
,
в которой производная функции
равна нулю:
3)Формула Лангража
f(b)-f(a)=f '(c)(b-a)
4) Теорема Коши
-
непрерывны на отрезке [a, b];
-
дифференцируемы в интервале (a, b);
-
x (a, b) g'(x)!=0
=
5,6) Определение четной и нечетной функции
Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения x
из множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).
Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).
7,8) Определение возрастающей и убывающей функции
Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых и
выполняется
неравенство
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Функция y=f(x) убывает
на интервале X, если для
любых и
выполняется
неравенство
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
9,10) Определение точки разрыва первого и второго рода
1.Если в
точке существуют
конечные пределы
и
,
такие, что
,
то точка
называется точкой
разрыва первого рода.
2. Если хотя
б один из пределов или
не
существует или равен бесконечности, то
точка
называется точкой
разрыва второго рода.
11)Необходимые условия возрастания и убывания функции
Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.
12)Достаточные условия возрастания и убывания функции
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f’(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f’(х)<0, то функция убывает на этом интервале.
13)Определение точки максимума и точки минимума
1.Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)>f(x) .
2. Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)< f(x) .
14)Необходимое условие экстремума
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
15)Определение критической точки первого рода
Критической точкой первого рода , называются точки в которой первая производная равна нулю или не существует
-
16) функция непрерывна в окрестности точки
;
-
или
не существует;
-
производная
при переходе через точку
меняет свой знак.
17,18)Определение графика выпуклого вниз
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
19)Определение точки перегиба
Точкой
перегиба графика функции называется
точка
,
разделяющая промежутки выпуклости и
вогнутости.
20)Признаки выпуклости графика
1.
Если f' возрастает
на ,
то f выпукла
на
(если f' строго
возрастает, то f строго
выпукла).
2.
Если ,
то f выпукла
на
(если
обращаясь
в нуль, возможно, лишь в конечном числе
точек, то fстрого
выпукла).
3. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции лежит не ниже касательной, проведенной к нему в любой его точке.
21) Необходимое условие существования точек перегиба
Если
точка — точка
перегиба функции
и
если
в
некоторой окрестности точки
(непрерывная
в точке
),
то
.
22) Определение критической точки второго рода
Критическая точка второго рода - это точка функции, в которой вторая производная функции равна 0
23)Достаточное условие существования точек перегиба
Если
функция непрерывна в
точке
и
имеет в этой точке конечную или бесконечную
производную и если
меняет
знак при переходе через точку
,
то точка
— точка
перегиба функции
.
24) Определение асимптоты графика
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
25)
Прямая называется вертикальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений
или
равно
или
26)
Прямая называется горизонтальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений
или
равно
.
27)
Прямая называется наклонной
асимптотой графика
функции
,
если