Среднее квадратическое отклонение σ :
|
|
|
∑(xi − |
|
)2fi |
|
∑d2fi |
|
σ = |
|
|
x |
= |
=1,15(разряда) |
|||
|
|
∑fi |
∑fi |
|||||
Коэффициент вариации ν : |
|
|||||||
ν = |
σ |
100% = 1,15 |
100% = 30,3% |
|||||
|
|
x |
3,8 |
|
|
|
||
Следовательно, индивидуальные значения отличаются от средней арифметической в среднем на 1,15 разряда или на 30,3%.
Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение в соответствии со свойствами мажорантности средних.
Значение коэффициента вариации (30,3%<33%) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.
Пример 6. По интервальному ряду распределения рабочих цеха по возрасту вычислить показатели вариации.
Таблица 6.1
Возраст, лет |
Число работ- |
Середина ин- |
|
Расчетные графы |
|
|
|
|
|
|||||
|
ников, чело- |
тервала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
век |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi′ − xi′+1 |
fi |
xi |
xi fi |
|
xi − x |
fi |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
xi − x |
fi |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
До 25 |
8 |
20 |
160 |
176 |
|
|
|
3872 |
|
|
||||
25-35 |
10 |
30 |
300 |
120 |
|
|
|
1440 |
|
|
||||
35-45 |
12 |
40 |
480 |
24 |
|
|
|
48 |
|
|
|
|||
45-55 |
15 |
50 |
750 |
120 |
|
|
|
960 |
|
|
||||
55-65 |
6 |
60 |
360 |
108 |
|
|
|
1944 |
|
|
||||
65 и более |
3 |
70 |
210 |
84 |
|
|
|
2352 |
|
|
||||
Итого: |
54 |
|
2260 |
632 |
|
|
|
10616 |
|
|||||
Решение.
1.Размах вариацииR = xmax − xmin = 70 − 20 = 50(лет) .
2.Среднее значение признака x = ∑xi fi = 2260 ≈ 42(года) .
∑fi 54
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
x − |
x |
|
|
f |
3. |
Среднее линейное отклонение |
|
d |
|
∑i fi |
|
|
i =11,7(лет). |
|||||
|
|
||||||||||||
|
Дисперсия σ 2 = ∑(xi − |
|
)2 fi |
|
|
||||||||
4. |
x |
|
= 10616 =196,6 . |
||||||||||
|
∑fi |
|
54 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Среднее квадратическое отклонение σ = σ2 =14,02(лет). |
||||||||||||
6. |
Коэффициент вариации ν = σ |
100% = 14,02 |
100% ≈ 33%. |
||||||||||
|
|
|
x |
|
42 |
|
|
|
|
||||
Вывод: средний возраст работников цеха составляет 42 года. Возраст каждого работника цеха отличается от среднего значения в среднем на 11,7 лет.
27
Поскольку d <σ , то это соответствует правилу мажорантности средних, и, следовательно, возраст каждого работника отличается от среднего возраста на 33% или на 14,02 года.
Значение коэффициента вариации свидетельствует о том, что совокупность не достаточно однородна.
Пример 7. Имеются данные о производительности труда рабочих одного из цехов НПО «Циклон» (табл. 7.1). Требуется: проверить правило сложения дисперсий; вычислить эмпирическое корреляционное отношение.
Таблица 7.1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НП «Циклон»
Производительность труда рабочих
Прошедших техническое обучение, деталей |
Не прошедших техническое обучение, |
||||||||
|
|
за смену |
|
|
|
деталей за смену |
|
||
84 |
93 |
95 |
101 |
102 |
62 |
68 |
82 |
88 |
105 |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассчитаем общую и групповые средние и дисперсии: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
групповые средние |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= ∑xi1 |
= 475 = |
95(дет.); |
|
|
= |
∑xi2 |
= 405 = 81 (дет.); |
|||||||||||||||||||
|
x |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
n1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= 475 + 405 = 88 |
|
(дет.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
групповые дисперсии |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∑(xi1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
σ 2 = |
x1 |
= |
|
(84 −95)2 +(93 −95)2 +... +(102 −95)2 |
= 42 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∑(xi21 |
− |
|
2 )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
σ22 = |
x |
= |
(62 −81)2 +(68 −81)2 +... +(105 −81)2 |
|
= 231,2, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общая дисперсия |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(xi |
− |
|
)2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
+... +(105 −88) |
|
|
||||||||||||||||
σ2 = |
|
|
= |
|
(84 −88) +(93 −88) |
|
|
=185,6 |
|||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповой дисперсии представлены в таблице 7.2
Таблица 7.2- Расчет σi 2 и σ2 по двум группам рабочих
Группы рабочих |
Численность рабо- |
Средняя, |
Дисперсия |
|
чих, чел. |
дет/смен |
|
Прошедшие тех. обучение |
5 |
95 |
42,0 |
Непрошедшиетех. обучение |
5 |
81 |
231,2 |
Все рабочие |
10 |
88 |
185,6 |
28