2.2. Теория пластического течения (теория течения).

Основные предпосылки. В основе уравнений состояния пластически деформируемой сплошной среды лежат условия пластичности, условия упрочнения н ассоциированный закон течения. В теории пластического течения устанавливается связь между приращениями деформаций dε_ij приращениями напряжений dσ_ij и напряжениями σ_ij.

Пусть упрочнение является изотропным, а приращения деформаций dε_ij складываются из приращений упругих dε^е_ij и пластических dε^р_ij деформаций, т. е.:

Примем далее, что относительное изменение объема θ и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как и при упругой деформации:

где К = Е/[3 (1-2µ) ] - объемный модуль упругости. Пусть, наконец, приращения напряжений dσ_ij и упругих деформаций dε^е_ij, связаны между собой законом Гука:

а в системе координат общего вида

В соответствие с уравнением приращение объемной деформации равно:

где dθ^e – приращение упругой объемной деформации, dθ^р- приращение пластической объемной деформации. Заменим в уравнении Получимdθ = dθ^e+ dθ^р = dσ/K + dθ^р. Находим, что:

т.е. приращение пластической объемной деформации равно нулю. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций и тензор приращений пластических деформаций совпадают.

Условия пластичности и упрочнения. В качестве условия пластичности f_s(σ^ij) =0 примем энергетическое условие пластичности, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений. Тогда:

В качестве параметра упрочнения q выберем параметр Удквиста. При этом:

т.е. интенсивность напряжений σ_и является функцией параметра Удквиста, не зависящий от вида напряженного состояния.

Связь между приращениями пластических деформаций и напряжениями. Заменим σ_и, получим выражение пластического потенциала через напряжения в прямоугольной декартовой системе координат:

Тогда найдем, учитывая, что ,

В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора приращений пластических деформаций D^p_dε, а в правых – умноженные на 3dλ компоненты девиатора напряжений D_σ. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций пропорционален девиатору напряжений. Обозначая коэффициент пропорциональности через dλ, получим:

D^p_dε= dλ· D_σ,

или в координатной форме в прямоугольной декартовой системе координат:

а в произвольной системе координат:

Найдем dλ. Запишем формулу для интенсивности приращений пластических деформаций в прямоугольной декартовой системе координат:

Подставим сюда выражение и после простых преобразований получим:

.

Список используемой литературы

1. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. – М.: Металлургия, 1977. – 322 с.

2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.

3. Водопьянов В.И., Савкин А.Н., Кондрашев О.В. Краткий курс сопротивления материалов. – Волгоград.: РПК «Политехник», 2006, стр.15-25.

4. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением.-М.: Металлургия, 1978. - 360с.

5. Столярчук А.С. Курс лекций