1.3 Условие пластичности Губера – Мизеса

Условие пластичности Губера – Мизеса было предложено в 1904 году и окончательно сформулировано в 1943 году, и оно, в отличие от призмы пластичности Треска – Сен-Венана, учитывает влияние третьего главного нормального напряжения, в следствие чего более точно описывает переход металла из упругого состояния в пластическое и звучит как:

«Любая элементарная частица металлического тела переходит из упругого состояния в пластическое, когда интенсивность напряжения достигает величины, равной напряжению текучести при линейно пластическом напряженном состоянии в соответствии с температурным скоростным условиями деформирования и степени деформации».

В момент наступления пластического состояния интенсивность напряжения σ_i становится равной истинному пределу текучести:

Условие пластичности Губера – Мизеса можно выразить через октаэдрические касательные напряжения:

Геометрический смысл условия пластичности Губера – Мизеса

В системе координат уравнение:

представляет собой поверхность бесконечно длинного цилиндра с радиусом, описанный вокруг шестигранной призмы Треска-Сен-Венана.Ось цилиндра проходит через начало координат и равнонаклонена к осям, то есть, ее уравнение, а угол наклона.

Поверхность цилиндра является предельной поверхности пластичности. Окружности, получаемые сечением цилиндра плоскости перпендикулярной к его оси определяет шаровой тензор, то есть напряженое состояние с постоянным средним напряжением. Эти плоскости определяются уравнениями:

,

где - расстояние от начала координат.

Плоскость, проходящая через начало координат при, определяет напряжение состояния, как чисто девиаторное. Образующие цилиндра являются геометрическим местом точек с постоянной разностью трех главных нормальных напряжений, то есть с одинаковым девиатором. Рассмотрим условие пластичности при плоском напряженном состоянии (рисунок 3).

С учетом :

Выражение является уравнением эллипса с центром в начале координат и с осями наклонённых под углом к осям координат. Точки на предельном контуре пластичности с начальными координатами:

.

соответствует также и плоскому деформированному состоянию, поскольку одно из напряжений с этими координатами равно полусумме двух других (включая )

Рисунок 4. – Предельный контур пластичности при плоском напряженном состоянии (вписанный шестигранник – условие пластичности Треска – Сен – Венана; эллипс – условие пластичности Губера – Мизеса).

Малая ось эллипса равна радиусу цилиндра. Из этого рисунка 3 следует, что при плоском напряженном и плоско деформированном состоянии не одну из главных нормальных напряжений не может быть большей величины:

Для плоско деформированного состояния получим:

или

Таким образом, величина пластической постоянной, равная напряжению текучести при чистом сдвиге, изменяется в пределахв зависимости от условия пластичности.

2. Основные теории пластичности

2.1. Теория малых упруго-пластических деформаций

В деформационной теории пластичности устанавливается связь между деформациями н напряжениями. Ранее было показано, что уравнения пластического состояния по теории течения можно интегрировать лишь для вполне определенного способа нагружения или деформирования. Но можно указать и целый ряд способов нагружения, для которых эти уравнения интегрируются. Это простые нагружения. Критерия простого нагружения примем в виде:

,

где — компоненты девхатора напряжений,

φ — переменный скалярный параметр,

—постоянный девиатор.

Простое нагружение возможно лишь при небольших деформациях. При больших конечных деформациях простое нагружение в общем случае неосуществимо, поэтому деформационную теорию пластичности называют еще теорией малых упруго-пластических деформаций. В связи с этим воспользуемся формулами теории бесконечно малых деформаций.

Допустим, что упрочнение является изотропным, а деформации согласно складываются из упругихи пластическихдеформаций, т. е.:

Примем далее, что относительное изменение объема и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как н при упругой деформации:

Пусть, наконец, напряжения и упругие деформации связаны между собой законом Гука:

А в прямоугольной декартовой системе координат:

В соответствии с уравнением (15) объемная деформация равна:

где - упругая объёмная деформация;

–пластическая объемная деформация.

Заменим в уравнение по формулам уравнения. Получим. Сравнивая с уравнением выше, находим, что:

Т.е. пластическая объемная деформация равна нулю. Следовательно, девиатор пластических деформация и тензор пластических деформациясовпадают. Поэтому компоненты девиатора пластических деформаций равны компонентам тензора пластических деформаций, т.е.:

Примем энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса, а в качестве меры упрочнения примем интенсивность деформаций ε_и. Тогда справедлива гипотеза «единой кривой» .

Связь между деформациями и напряжениями по деформационной теории пластичности.

Выразив деформации через компоненты соответствующих девиаторов, получим . По формуле=0 получим. Тогда:

Заменив согласно уравнению , авыражением. Получим, заменяя на основании

Интенсивность деформаций ε_и выразим через компоненты девиатора деформаций:

Заменяя e_ij, получим что[1]:

т.е. интенсивность деформаций равна сумме интенсивностей упругих и пластических деформаций.

Заменяя получим:

Выразим среднюю деформацию. Получим уравнение состояния пластически деформируемой среды по деформационной теории, называемые соотношениями Г. Генки:

или в прямоугольной декартовой системе координат

Заменим согласно K = E/3, а . После простых алгебраических преобразований получим соотношения Генки-Ильюшина:

По внешнему виду эти уравнения похожи на уравнения обобщенного закона Гука. Но, в отличии от последних, они являются нелинейными. Можно показать, что уравнения деформационной теории по существу являются уравнениями нелинейно-упругой среды, у которой связь между σ_и и ε_и такая же, как у пластической среды при непрерывном нагружении.