ФИЗИКА МУ к ПЗ Ч1

Модуль нормального прискорення знайдемо, підставивши в загальне рівняння йоговідомізначенняшвидкостітарадіусикривинитраєкторії

Повне прискорення буде геометричною сумою взаємно перпендикулярних тангенціальногоінормальногоприскорень

Напрямок вектора повного прискорення можна визначити, якщо знайти кут, утворений повним прискоренням з напрямком радіуса або з напрямком нормального прискорення

Аналіз і розв’язання

Запропонована задача – приклад оберненої задачі кінематики. З означення вектораприскорення а ddt знаходимо d adt.

Інтегруючицейвираз, одержимо

Враховуючипочатковіумови 0 3i j k , знайдемо

3 t2 i 2t2 1 j 3t 1 k .

Модульвектора дорівнює

10

Зозначенняпроекційвектора наосікоординат

x dxdt , y dydt , z dzdt

знаходимо

Підставившичисловідані, одержимо x 9,7 м, y 7,3 м, z 6 м.

Відповідь: 12,5 м/c , x 9,7 м, y 7,3 м, z 6 м.

Задача 4. Маховик, що обертається з постійною частотою n0 10c 1 , при гальмуванні почав обертатися рівносповільнено. Коли гальмування припинилося,

обертаннямаховиказновусталорівномірним, алевжезчастотою n 6 c 1 . Визначи-

ти кутове прискорення маховика і тривалість t гальмування, якщо за час рівно сповільненогорухумаховикзробив N 50 обертів.

Дані n0 10 c 1 , n 6 c 1 , N 50.

Знайти , t .

Аналіз і розв’язання

Якщо обертання відбувається із сталим кутовим прискоренням, то кутове прискорення маховика пов’язане з початковою 0 та кінцевою кутовими швидко-

стямиспіввідношенням

2 02 2 ;

звідки

2 02 ; 2

11

алетоді

2 N , 2 n ;

то

Від ємне кутове прискорення одержали тому, що маховик обертався сповільнено.

Для визначення тривалості гальмування скористаємося формулою, яка зв’язує кутповороту зсередньоюкутовоюшвидкістю обертанняічасом t :

нянням S at4 bt2 . Знайти екстремальне значення швидкості тіла. Побудувати графікзалежностішвидкостівідчасузапершіп’ятьсекундруху, якщо a 0,25 м/c4 ,

b 9 м/c2 .

Відповідь: min 29,3 м/c .

Задача 3. Пароплав іде по річці від пункту А до пункту В зі швидкістю1 =10 км/год, а назад – зі швидкістю 2 16 км/год. Знайти середню швидкість

пароплава і швидкість течії ріки р .

Відповідь: 12,3 км/год, р 3 км/год.

Задача 4. Підкинутий вертикально вгору камінь перебував на одній і тій самій висотівмоментичасу t1 =2,1 c і t2 =3,7 c . Нехтуючиопоромповітря, визначитишви-

дкість 0 , зякоюбувпідкинутийкамінь.

12

Відповідь: 0 g t1 t2 28,4 м/с. 2

Задача 5. Камінь, що підкинули з поверхні землі вертикально вгору, упав на землю через 3 с. Яка була початкова швидкість каменя? На яку висоту піднявся камінь? Опором повітря знехтувати.

Відповідь: 0 14,7 м/с, h 11 м.

Задача6. Тіло кинуте з початковою швидкістю 0 28 м/с під кутом42 до обрію. Нехтуючи опором повітря, визначити для моменту часу t 1,2 с післяпочаткурухутангенціальну a інормальну an складовіприскорення.

A 4 м/c , B 0,05 м/c2 . Визначити момент часу, в який швидкість точки 0 .

Знайти координату та прискорення в цей момент. Побудувати графіки залежностей координати, шляху, швидкостітаприскореннявідчасудляцьогоруху.

Відповідь: t 40 c , x 80 м, a 0,1 м/c2 .

Задача8. Залежність шляху s, який пройшло тіло, від часу t визначається рівнянням S At Bt2 Ct3 , де A 2 м/c , B 3 м/c2 , C 4 м/c3 . Знайти 1) залеж-

ність швидкості і прискорення a від часу t 2) відстань, пройдену тілом, швидкість і прискорення через 2 с після початку руху. Побудувати графіки залежностей

шляху, швидкостііприскореннявідчасудля 0 t 3 с через 0,5 с.

Відповідь: 1) 2 6t 12t2 м/с, a 6 24t м/c2 ;

2) s 24 м, 38 м/c , a 42 м/c2 .

Задача9. Залежність пройденого тілом шляху s від часу t визначається рівнянням s A Bt Ct2 , де A 6 м, B 3 м/c , C 2 м/c2 . Знайти середню швид-

кість і середнє прискорення тіла в проміжку часу від 1 с до 4 с. Побудувати графіки залежностейшляху, швидкостітаприскореннявідчасудля 0 t 5 c через1 с.

Відповідь: 7 м/c , a 4 м/c2 .

Задача10. Залежність пройденого тілом шляху s від часу t подано рівнянням s A Bt Ct2 Dt3 , де C 0,14 м/c2 , D 0,01 м/c3 . Через який час від поча-

тку руху прискорення тіла дорівнюватиме 1 м/c2 ? Чому дорівнює середнє прискореннятілазацейпроміжокчасу?

Відповідь: t 12 c , a 0,64 м/c2 .

Задача 11. Швидкість каменя, що підкинули вертикально угору, через проміжок часу t 12 c зменшилася в n 3,5 рази. Визначити початкову швид-

кість 0 каменя і висоту h його підйому.

13

часу t 2 c .

Відповідь: r ( 2i 4 j 8k ) м, 13 м/c .

Задача 15. Камінь кинутий у горизонтальному напрямку. Через 0,5 с після початку руху значення швидкості каменя стало в 1,5 рази більше його початкової швидкості. Нехтуючи опором повітря, знайти початкову швидкість каменя.

Відповідь: 0 4,4 м/с.

Задача 16. Диск радіусом R 0,6 м обертається навколо нерухомої осі

так, що залежність його кутового прискорення від часу задається рівняннямAt , де А = 3 рад/с3. Визначити кут повороту диска за час t 2,2 с після

початку руху, лінійну швидкість точки на ободі диска та її нормальне прискорення an для цього самого моменту часу.

Задача 17. Диск радіусом R 0,6 м, обертаючись рівноприскорено, за час t 2 с набув кутової швидкості 3,3 рад/с. Визначити для цього моменту часу тангенціальну a і нормальну an складові прискорення.

Задача18. Три літака виконують розворот, рухаючись на відстані 60 м один від одного. Середній літак летить із швидкістю 360 км/год, рухаючись по дузі кола радіусом 600 м. Визначитиприскореннякожноголітака.

Відповідь: a1 18,3м/с2 , a2 16,7м/с2 , a3 15,0 м/c2 .

14

Задача 19. Тіло проходить однакові ділянки шляху з постійними у межах ділянки швидкостями 1 , 2 ,..., n . Визначити середню швидкість тіла на всьому

шляху.

Задача20. Точкарухається по колу радіусом R 2 см. Залежність шляху від часу задано рівнянням х Сt3 , де С 0,1 см/c2 . Знайти нормальне та тангенціальне прискореннявмомент, колилінійнашвидкістьточкидорівнює 0,3 м/c .

a 13,6 м/c2 . Знайтирадіусколеса.

Відповідь: R 6,1 м.

Задача22. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса ко-

секундирухунормальнеприскоренняточок, якілежатьнаободіколеса, дорівнювало

an 3,46 102 м/c2 .

Відповідь: R 1,2 м.

Задача 23. Знайти, у скільки разів тангенціальне прискорення точки, що лежитьнаободіколеса, якеобертається, більшеїїнормальногоприскореннядлятого моменту, коли вектор повного прискорення цієї точки утворює кут 30 з вектором її лінійноїшвидкості.

Відповідь: 1,7 .

Задача24. Вентилятор обертається з частотою 90 обертів за хвилину. Після вимкнення вентилятор, обертаючись рівносповільнено, зробив до зупинки 75 обертів. Скільки часу пройшло з моменту вимкнення вентилятора до його повної зупинки?

Відповідь: t 10 c .

Задача25. Колесо, обертаючись рівносповільнено, під час гальмування за одну хвилину зменшило свою швидкість з 300 об/хв до 180 об/хв. Знайти кутове

прискоренняколесаікількістьобертів, зробленихнимзацейчас.

Відповідь: 0,21 рад/c2 , N 240 об.

Задача26. Спостерігач, який стоїть на платформі, побачив, що перший вагон електропоїзда, який наближається до станції, пройшов повз нього за 4 с, а другий –

за 5 с. Після цього передній край поїздазупинивсяна відстані 75 м відспостерігача. Вважатирухпоїздарівносповільненим, визначитийогоприскорення.

15

Відповідь: a 0,25м/c2 .

Задача 27. Два тіла кинуті вертикально вгору з однієї й тієї самої точки з однаковою початковою швидкістю 0 з інтервалом часу t 1,8 с. Нехтуючи

опором повітря, визначити початкову швидкість, якщо обидва тіла через проміжок часу t 5,5 с після кидка першого тіла виявилися на одній висоті h.

Визначити також цю висоту.

кидка до точки, у якій тіло виявиться через першу половину часу свого руху.

Задача 29. Диск обертається навколо нерухомої осі так, що залежність лінійної швидкості точок, що лежать на ободі колеса, від часу задається рівнян-

ням A Bt , де A 0,6 м/с; B 0,9 м/с2 . Визначити радіус R колеса, якщо

кут між векторами повного прискорення й лінійної швидкості через проміжок часу t 3 с від початку руху дорівнює 80 .

16

2 ДИНАМІКА ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ

2.1 Мета заняття

Засвоїти методи класичної механіки і навчитися розв’язувати задачі динаміки матеріальної точки, динаміки поступального руху.

2.2 Вказівки з організації самостійної роботи студентів

Для досягнення мети заняття необхідно вивчити теорію даного розділу механіки, викладену в підручниках [1, розд. 2; 2, розд. 2; 5, §2] та у конспекті.

Основу динаміки матеріальної точки складають три закони Ньютона, які справедливі тільки під час виконання таких умов рух тіла розглядається відносно інерціальної системи відліку, тіло має бути матеріальною точкою сталої маси, швидкість тіла має бути значно меншою за швидкість світла в вакуумі.

Під час розв’язання задач за темою використовується другий закон Нью-

тона, який має вигляд

F ma , де F Fi – рівнодійна усіх сил, прикладених до даного тіла.

мі відліку.

Для розв’язання задач з використанням другого закону Ньютона запропоновано метод, який включає послідовність дій

1.Знайти, чи використовується цей закон у даній задачі, і накреслити ри- сунок-схему взаємодіючих тіл.

2.Знайти і позначити на схемі всі сили, що діють на тіла системи. Для

кожного тіла

–записати головне рівняння динаміки у векторній формі;

–вибрати відповідну інерціальну систему відліку;

–спроектувати сили на осі координат і записати другий закон Ньютона у

вигляді системи скалярних рівнянь Fx max ; Fy may ; Fz maz , де ax , ay , az – проекції вектора прискорення на відповідні осі.

3. Розв’язати систему одержаних рівнянь відносно невідомих величин. Визначення прискорення тіл у задачах даного типу називають головною

задачею динаміки поступального руху.

17

2.3 Основнізаконитаформули

1. Імпульс матеріальної точки:

p m ,

де mi – маса i -ої матеріальної точки; xi , yi , zi – координати i -ої точки.

2.4 Контрольні запитання та завдання

1.Запишіть поняття інертності.

2.Дайте визначення маси.

3.Дайте визначення сили.

4.Що таке інерціальна система відліку?

5.Запишіть перший закон Ньютона.

6.Запишіть другий закон Ньютона.

7.Запишіть третій закон Ньютона.

8.Щотакемеханічнийімпульстіла?

9.Запишітьзаконзбереженняімпульсу.

10.Щотакецентрмасмеханічноїсистеми?

11.Щотакегравітаційнасилатасилатяжіння?

12.Дайте визначення ваги тіла.

13.Дайте визначення сили тертя.

14.Запишіть закон Гука.

2.5 Приклади розв’язання задач

зв’язаний ниткою, перекинутою через блок, з іншим вантажем масою m2 3 кг (рис. 2.1).

Коефіцієнт тертя між першим вантажем та площиною 0,2 , кут нахилу площини до

Знайти a, F .

19