ФИЗИКА МУ к ПЗ Ч1
.pdf
E |
1 |
|
q |
|
при r R (поза кулею). |
||
4 0 |
r2 |
||||||
|
|
|
|||||
13. Напруженість поля, створеного рівномірно зарядженим нескінченним |
|||||||
циліндром радіусом R навідстані r від осі циліндра: |
|||||||
E 0 |
|
|
|
при r R (всередині циліндра), |
|||
E |
1 |
|
при r R (поза циліндром), |
||||
2 0 |
r |
||||||
|
|
|
|||||
де – лінійнагустина заряду. |
|
||||||
14. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж за- |
|||||||
мкнутого контуру: |
|
|
|
|
Edl |
El dl 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L |
L |
|
де El – проекція вектора E на напрям елементарного переміщення dl . Ін-
тегрування проводиться по замкненому контуру L .
15. Потенціальнаенергія заряду q0 у полізаряду q на відстані r від нього:
U 1 qq0 . 4 0 r
16.Потенціалелектростатичногополя:
U , A , q0 q0
де q0 – точковий позитивний заряд, поміщений у дану точку поля; U – потенціальна енергія заряду q0 ; A – робота переміщення заряду q0 з даної точки поля за
йогомежі.
17. Потенціалелектростатичногополяточковогозарядунавідстанівідзаряду:
1 q . 4 0 r
18. Зв'язокміж напруженістю і потенціаломелектростатичногополя:
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
E grad |
x |
i |
y |
j |
z |
k |
||
де i , j , k |
|
|
|
|
|
|
|||
– одиничні вектори координатних осей. Знак «–» визначається |
|||||||||
тим, що вектор |
E поля спрямований у бік зменшення потенціалу. |
||||||||
19. У випадку поля з центральною або вісьовою симетрією:
E r .
20. Робота, що здійснюється силами електростатичного поля під час переміщення заряду q0 з точки 1 в точку 2:
A12 q0 ( 1 2 ) , |
2 |
|
2 |
Eldl , |
A12 q0 |
Edl |
q0 |
||
|
1 |
|
1 |
|
де El – проекціявектора E нанапрямелементарногопереміщення dl .
100
21. Різницяпотенціалівміждвоматочками1 і2 велектростатичномуполі
|
|
|
A12 |
|
2 Edl |
|
2 E dl , |
|
|
q |
|||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
де A12 – робота, що здійснюються силами електростатичного поля під час переміщення заряду q0 з точки 1 в точку 2; El – проекція вектора E на напрям елеме-
нтарного переміщення dl ; інтегрування проводиться вздовж будь-якої лінії, що з'єднує початкову та кінцеву точки, тому що робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії переміщення.
22. |
Різниця потенціалів між точками, що знаходяться на відстані x1 і x2 |
від |
|||||||||
рівномірно зарядженої нескінченної площини: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
Edx |
|
|
dx |
|
|
(x2 x1) , |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x |
2 0 |
|
2 0 |
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де – поверхневагустиназаряду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
Різниця потенціалів між нескінченними різнойменно зарядженими площи- |
||||||||||
нами, відстаньміжякимидорівнює d : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 Edx |
|
|
|
dx |
|
|
d . |
|
||
|
2 0 |
2 0 |
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
24. |
Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r1 |
і r2 |
|||||||||
від центру рівномірно зарядженої сферичної поверхні (об'ємно зарядженого кулі)
радіусом R із загальним зарядом q |
за умови r1 R , r2 |
R , |
r2 r1 : |
||||||||||
r2 |
|
r2 |
1 q |
|
q |
|
|
|
1 |
|
|||
1 2 |
Edr |
|
dr |
|
1 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 0 r2 |
|
|
|
||||||||||
r |
|
r |
|
4 0 r1 |
|
|
r2 |
||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстанях r1 і r2 від центру об'ємно зарядженої кулі радіусом R із загальним зарядом q , за умови r1 R , r2 R , r2 r1 :
r |
r |
1 |
|
qr |
|
q |
|
|
r22 |
r12 . |
1 2 2 |
Edr 2 |
|
dr |
|
|
|||||
|
3 |
8 |
R |
3 |
||||||
r |
r 4 0 R |
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
26. Різниця потенціалів між двома точками, що знаходяться на відстанях r1 і r2 , від осі рівномірно зарядженого з лінійною густиною нескінченного циліндра
радіусом R , за умови r1 R , r2 |
R ,r2 |
r1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r2 |
|
|
|
|
r2 |
dr |
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
Edr |
|
|
|
|
r |
|
|
|
ln |
2 |
. |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
r |
||||||
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
101
8.4 Контрольні запитання та завдання
1.Сформулюйте закон Кулона.
2.Для яких зарядів можна застосувати закон Кулона?
3.Який заряд називається точковим, пробним?
4.Фізичний смисл напруженості електростатичного поля.
5.Які властивості має електростатичне поле?
6.Яквизначаєтьсянапруженістьелектростатичногополяточковогозаряду?
7.Дайте визначення ліній напруженості електричного поля.
8.Сформулюйте принцип суперпозиції електричних полів.
9.Що таке циркуляція вектора напруженості електростатичного поля і чому вона дорівнює?
10.Чому дорівнює потенціальна енергія взаємодії двох точкових електричних зарядів?
11.Що таке потенціал електричного поля?
12.Що таке різниця потенціалів?
13.Чому дорівнює робота сил електричного поля з переміщення заряду з точки 1 в точку 2?
14.Як пов'язані різниця потенціалів з вектором напруженості електричного поля?
15.Як пов'язані вектор напруженості електричного поля з потенціалом?
16.Чому дорівнює потенціал поля точкового заряду?
8.5 Приклади розв'язання задач
Задача 1. Три точкових заряди q1 q2 q3 1 нКл розташовані у вершинах рівнобічного трикутника. Який заряд q4 слід розташувати в центрі трикут-
ника, щоб ця система зарядів була в рівновазі?
Дані: q1 q2 q3 1 нКл. Знайти: q4 .
Аналіз і розв'язання
Всі три заряди, що розташовані у вершинах трикутника, знаходяться в однакових умовах. Тому достатньо з'ясувати, який заряд слід розташувати в центрі трикутника, щоб будь-який з трьох зарядів, наприклад q1 , перебував у
рівновазі. Заряд q1 знаходитиметься в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює нулю (рис. 8.1).
102
|
F |
F F F |
F |
0, |
|
|
|
(8.1) |
||||
2 |
|
3 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
де F2 |
, F3 |
, F4 |
– сили, які відповідно ді- |
|||||||||
ють на заряд q1 з |
боку зарядів q2 , q3 , |
q4 ; |
||||||||||
F – рівнодійна сил F2 і F3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Беручи до уваги, що |
F і |
F4 |
спрямовані |
|||||||||
по одній прямій у протилежні боки, векторне |
||||||||||||
рівняння (8.1) |
можна замінити |
|
скалярним |
|||||||||
F F4 0 , |
звідки |
F4 F . Враховуючи, |
що |
|||||||||
F3 F2 , маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F4 F2 |
2(1 cos ) . |
|
|
|
|
|
|||||
Застосовуючи закон Кулона і маючи на увазі, що |
||||||||||||
|
|
|
|
|
q q |
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
1 |
|
|
2(1 cos ) . |
|
|
|
|
|
4 r2 |
4 |
r2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
0 |
|
|
|
Звідки:
Рисунок 8.1
q1 q2 q3 , визначаємо:
|
|
|
|
|
|
|
|
q r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
1 1 |
|
2(1 cos ) . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Беручи до уваги, що трикутник q1q2q3 рівнобічний, маємо: |
|||||||||||||||||
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
; cos cos60 |
|
|
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2cos |
|
|
|
2cos30 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тоді |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q |
q1 |
; q |
4 |
5,77 10 7 Кл = 577 нКл. |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: q4 = 577 нКл. Слід відзначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.
Задача 2. Кільце радіусом R з тонкого дроту має заряд q , що
рівномірно розподілений по кільцю. Знайти модуль напруженості електричного поля на осі кільця в точці A як функцію відстані f
до його центра. Дослідити одержану залежність при f R .
Дані: R , q , f , f R .
Знайти: E( f ) .
Аналіз і розв'язання
Поєднаємо координатну площину xOy з площиною кільця, а вісь Oz – з віссю кільця (рис. 8.2). Ha кільці виділимо малий еле-
мент довжиною dl . Заряд цього елемента dq dl |
q |
dl |
можна |
|
2 R |
||||
|
|
|
||
103 |
|
|
|
вважати точковим, тоді напруженість dE |
|||||||||||
електричного поля, створеного цим заря- |
|||||||||||
дом, може бути записана у вигляді: |
|
|
|
||||||||
|
dE |
q dl |
|
r |
|
|
q dl |
|
|
r |
, |
|
8 2 0Rr2 |
|
8 2 0R(R2 f 2 ) |
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|
r |
|||||
|
де r |
r |
R2 f 2 , |
|
|
|
|||||
|
– радіус-вектор, спрямований від |
||||||||||
еле-мента dl до точкиA. |
|
|
|
|
|||||||
|
Розкладемо вектор dE на дві складові: |
||||||||||
dE1, |
перпендикулярну |
площині |
|
кільця, |
|||||||
(спрямовану так само, як і вісь Oz ), і dE2 , |
|
|
|||||||||||||
паралельну площині кільця (площині xOy), |
Рисунок 8.2 |
||||||||||||||
тобто: |
|
|
|
dE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dE dE |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Напруженість |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
електричного поля у точці A знайдемо інтег- |
||||||||||||||
руванням: |
|
|
|
|
E dE1 |
dE2 , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
де інтегрування ведеться за довжиною кільця L 2 R . Враху- |
|||||||||||||||
ємо, що для кожної пари зарядів dq і dq |
( dq dq ), розташованих |
||||||||||||||
симетрично відносно центра кільця, вектори dE2 |
і dE2 у точці A |
||||||||||||||
однакові за модулем і протилежні за напрямком, |
тобто dE2 dE2 . |
||||||||||||||
Тому векторна сума (інтеграл): |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dE2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Складові dE1 для всіх елементів кільця спрямовані вздовж осі |
|||||||||||||||
Oz , (вздовж одиничного вектора k ), |
тобто dE kdE1 . Тоді E k dE1 . |
||||||||||||||
Зважаючи на те, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||
|
qdl |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|||||
dE |
|
|
і cos |
|
, |
|
|||||||||
8 2 0R(R2 f 2 ) |
|
R2 f 2 |
|
||||||||||||
маємо: |
|
|
|
|
|
|
fqdl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dE1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
Таким чином: |
|
|
|
|
|
8 2 0R(R2 f 2 )2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
fqdl |
|
|
fq |
|
|
||||||
E f k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
3 |
4 0 R2 f 2 |
3 |
||||||||||
|
|
|
L 8 2 R R2 f 2 2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При f R : |
E( f ) |
q |
|
– як для точкового заряду. |
|||
4 0 f 2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
fq |
|
|
|||||
Відповідь: E( f ) k |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
3 |
||||
4 0 (R2 f 2 )2
Задача 3. Тонкий стрижень довжиною l =10 см рівномірно заряджений зарядом q 10 7 Кл. Знайти силу, яка діє на точковий заряд q0 = 6 нКл, розта-
шований на подовженні стрижня на відстані a 20 см від нього. Знайти напруженість поля як функцію відстані до стержня a.
Дані: q 10 7 Кл, q0 6 нКл =6 10 9 Кл, a 20 см = 0,2 м.
Знайти: F , E(a) .
Аналіз і розв'язання
Безпосередньо застосувати закон Кулонанеможливо, томущострижень– не точковий заряд. Але можна застосувати метод диференціювання та інтегрування. Виділимо на стержні дуже малий елемент довжиною dx , заряд
якого dq q dx можна вважати точко- |
|
Рисунок 8.3 |
|
|
|
||
l |
|
|
|
вим(рис. 8.3). |
|
|
|
Сила взаємодії dF точкового заряду q0 |
та елементарного точкового за- |
||
ряду dq за законом Кулона: |
|
|
|
dF |
q0dq |
|
, |
4 0 (l a x)2 |
|||
де (l a x) – відстань від елемента |
dx до точкового заряду q0 , |
||
x – відстань від початку координат до елемента dx (рис. 8.3). Інтегруючі вираз для dF за довжиною стрижня, отримаємо результуючу силу:
l |
q dq |
|
q q |
l |
dx |
|
q q |
|
1 |
|
1 |
|
|
F dF |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= 90 мкН. |
4 0 (l a x)2 |
4 0l |
(l a x)2 |
4 0l |
|
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
a |
|
a l |
|
||||||
Напруженість поля в точці A дорівнює:
E |
F |
|
|
q |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
q |
|
4 0l |
|
a l |
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||
За напрямком напруженістьE збігається з F . Для будь-якої точки на по- |
||||||||||||||
довженні стрижня: |
|
|
|
q |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
E(a) |
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
a l |
|
|||||||
де a – відстаньвідкінцястрижнядоточки, девизначаєтьсянапруженістьполя.
105
Відповідь: F 90 |
мкH, E(a) |
q |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||
4 0 |
|
|
|||||
|
|
a |
|
a l |
|||
Задача4. Електричне поле створене тонким прямим провідником, рівномірнозарядженимзлінійного густиною 0,2 мкКл/м. Визначитипотенціал поля
в точці C , яка розташована від кінців провідника на відстанях, що дорівнюють довжині провідника l. Яку роботу здійснить електричне поле по переміщення заряду
q 10 5 Кл зточки C нанескінченновеликувідстань?
Дані: 0,2 мкКл/м, rmax l , q 10 5 Кл.
Знайти: C , A.
Аналізірозв'язання
Заряд, який знаходиться на провіднику, не можна вважати точковим, тому необхідно розподілити провідник на елементарні відрізки (рис. 8.4). У цьому випадку заряд dq dl , який
перебуває на кожному з них, можна розглядати як точковий. Потенціал, утворений у точці C зарядом dq :
d |
dl |
, |
(8.2) |
|
4 0r |
||||
|
|
|
де r – відстань від точки, в якій визначається потенціал, до елемента провідника. З рис.
8.4 можна бачити, що dl d . Тоді з форму- Рисунок 8.4 cos
ли (8.2): |
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
. |
|
|
|||||
|
4 0 cos |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Інтегруючи одержаний вираз від, 1 до 2 , знайдемо потенціал у точці C : |
||||||||||
2 |
d |
|
|
|
|
2 |
d |
. |
||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 cos |
4 0 |
|
cos |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Внаслідок симетрії розташування точки C відносно кінців провідника маємо: 1 2 , тому:
|
|
1 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
C |
|
|
|
|
|
ln tg |
|
|
|
|
|
|
|
ln tg |
|
ln tg |
|
|
|
|
ln tg |
|
. |
4 0 |
cos |
4 0 |
2 |
4 |
|
4 0 |
3 |
4 |
4 0 |
3 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Робота переміщення заряду q з точки C на нескінченність:
A q( C ) q c ,
де потенціал поля на нескінченності C 0 . Розрахуємо:
106
|
|
2 0,2 |
10 6 |
0,55 |
1,98 103 В; А 10 5 1978 0,02 Дж. |
|
|
|
|||
C |
|
4 3,14 |
8,85 |
10 12 |
|
|
|
||||
Відповідь: |
1,98 103 В, A 0,02 Дж. |
||||
|
|
C |
|
|
|
Задача 5. Електричне поле створюється точковим диполем, електричний |
|||||
момент якого |
p 2 10 14 |
Кл·м. Знайти роботу А сил поля з переміщення за- |
|||
|
|
|
|
12 |
|
ряду q 0,1 Кл з точки 1 (рис. 8.5), яка розташована на осі диполя на відстані
r1 0,1 |
м від його центра з боку позитивного заряду, в точку 2, яка розташова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на на осі диполя на відстані r2 0,2 м від його центра. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дані: p 2 10 14 Кл·м, |
q 0,1 Кл, r |
0,1 |
м, r 0,2 м. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Знайти: A12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналіз і розв' язання |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Для визначення роботи сил поля ско- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ристаємося співвідношенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A12 q( 1 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
З принципу суперпозиції полів ви- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
пливає, що потенціал будь-якої точки елек- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 8.5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
тричного поля диполя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ql |
|
. |
(8.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
r2 l2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 0 r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
Враховуючи, |
|
що для точкового диполя l r , |
можна знехтувати значен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ням |
l2 |
у знаменнику, з формул (8.3) та (8.4) одержимо: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
|
q |
|
1 |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 r12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
0,1 2 10 14 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2,7 10 3 |
Дж. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
12 |
|
|
4 3,14 8,85 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Відповідь: |
A |
|
|
2,7 10 3 Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 6. Тонкий диск радіусом R рівномірно заряджений з поверхневою густиною . Знайти потенціал і напруженість поля в точці A, що лежить на осі диска на відстані а від нього.
Дані: R , , a . Знайти: , E .
107
Аналіз і розв’язання
Для визначення потенціалу в точці A застосуємо принцип суперпозиції полів. Розіб'ємо диск на елементарні кільця шириною dx (рис. 8.6). Площа кільця радіусом x дорівнює 2 x dx , заряд кільця dq 2 x dx . Потенціал поля кільця в точці A дорі-
внює алгебраїчній сумі потенціалів, утворе-них усіма його точковими елементами, які рівновід-далені від точкиA.
Потенціал кільця A:
d |
1 |
|
2 x dx |
. |
(8.5) |
|
4 0 |
|
Рисунок 8.6 |
||||
|
|
a2 x2 |
|
|||
Потенціалдискавизначимоінтегруванням(8.5):
|
|
R |
x dx |
|
|
|
|
a2 R2 a . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 0 |
a |
2 |
x |
2 |
2 0 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
Враховуючи симетрію, можна бачити, що вектор напруженості електричного поля в точці Aспрямований уздовж осі диска, тому, розглядаючи a як
змінну, отримаємо E : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
E |
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
da |
|
|
2 0 |
|
|
|
a2 R2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де k – орт, спрямований вздовж осі z . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
|
|
|
a |
|
, |
E |
|
1 |
|
|||||
2 0 |
|
|
2 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k ,
a2a R2 k .
8.6 Задачі для самостійної роботи
Задача 1. Відстань l між вільними зарядами q1 180 нКл і q2 720 нКл дорівнює 60 см. Який негативній заряд q3 потрібно розташувати між вказаними
зарядами, щоб система зарядів знаходилася в рівновазі? Визначити його відстань від заряду q1 .
Відповідь: q3 8 10 8 Кл, l1 20 см від заряду q1 .
Задача2. У вершинах квадрата знаходяться однакові заряди q 0,33 нКл. Який заряд q1 необхідно розташувати в центрі квадрата, щоб система була у рівновазі?
Відповідь: q 1 |
|
2 1 |
q 0,287 |
нКл. |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
108 |
|
Задача 3. Тонкий стрижень довжиною l 10 см рівномірно заряджений. Лінійна густина заряду дорівнює 1 мкКл/м. Ha продовженні осі стрижня на відстані a 20 см від ближнього його кінця знаходиться точковий заряд q 100 нКл. Визначити силу F взаємодії зарядженого стрижня і точкового за-
ряду.
Відповідь: F |
q l |
1,5 мН. |
4 0 (l a)a |
Задача 4. Тонке напівкільце радіусом R 10 см несе рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 1 мкКл/м. У центрі кривизни напівкільця
розташовано заряд q 20 |
нКл. Визначити силу F взаємодії точкового заряду і |
|||
зарядженого напівкільця. |
|
|
||
Відповідь: F |
q |
|
3,6 мН. |
|
2 0R |
||||
|
|
|||
Задача5. Електричне поле створене двома точковими зарядами q1 10 нКл і q2 20 нКл, що розташовані на відстані d 20 cм один від одного. Визначити напруженість E поля в точці, віддаленій від першого заряду на r1 30 см і від другого – на r2 50 см.
Відповідь: E 280 B/м.
Задача6. Електричнеполе, створенедвоматочковимизарядамиq1 40 нКл і q2 10 нКл, що знаходяться на відстані d 10 см один від одного. Визначити напруженість E поля в точці, віддаленій від першого заряду на r1 12 см і від другого на r2 6 см.
Відповідь: E 23,4 103 В/м.
Задача 7. Дві кульки масою m 1 г кожна підвішені на нитках, верхні кінці яких з'єднані. Довжина кожної нитки l 10 см. Які однакові заряди слід пе-
редати кулькам, щоб нитки розійшлися на кут 60 ?
Відповідь: q 2l |
0mg |
79,3 нКл. |
3 |
Задача 8. Довгий прямий тонкий дріт несе рівномірно розподілений заряд. Обчислити лінійну густину заряду, якщо напруженість поля на відстані r 0,5 м від дроту напроти його середини E 2 В/см.
Відповідь: 2 0rE 5,65 мКл/м.
Задача 9. Тонке дротяне кільце радіусом r має електричний заряд q .
Яким буде приріст сили, яка розтягує дріт, якщо в центрі кільця розташувати точковий заряд q0 ?
Відповідь: F q0q .
8 2 0r2
109