Крюкова А.Л. Методические указания к выполнению контрольной работы по матлогике 2017

Решение:

Пусть предикат P : X 0,1 и X x1, x2 ,..., xn , тогда x P x P x1 & P x2 &...& P xn

и x P x P x1 P x2 ... P xn .

y x R x, y P x y R a, y P a & R b, y P b

R a, a P a & R b, a P b & R a,b P a & R b,b P b

R a, a P a & R b, a P b & R a,b P a & R b,b P b

0 1 & 1 0 & 1 1 & 1 0 1& 0 &1& 0 0 ;

x y S x, y &Q x x S x, a & S x,b & Q x

x S x, a & S x,b &Q x S a, a & S a,b &Q a S b, a & S b,b &Q b

1& 0 & 0 0 & 0 &1 0 0 0 .

VI. Привести к предваренной нормальной форме:

Перед выполнением девятого задания рекомендуем ознакомиться с §7 главы III [3].

Говорят, что формула алгебры предикатов имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена только к элементарным формулам.

Среди нормальных форм важное значение имеют так называемые предваренные нормальные формы. В них кванторные операции либо просто отсутствуют, либо используются после всех операций алгебры логики.

Справедливо утверждение о том, что всякая формула логики предикатов путём равносильных преобразований может быть приведена к предваренной нормальной форме. При этом следует использовать равносильности, которые мы назовём основными.

x F x x F x ;

x F x x F x ;

x A x & x B x x A x & B x ;x A x x B x x y A x B y ;

A& x B x x A & B x ; A x B x x A B x ; A x B x x A B x ;

x A x x B x x A x B x ;

x A x & x B x x y A x & B y ;

A& x B x x A & B x ; A x B x x A B x ; A x B x x A B x .

Решение:

Ax y P x, y & x y Q x, y x y P x, y & x y Q x, y

x y P x, y & y Q x, y x y z P x, y & Q x, z .

VII. Построить машину Тьюринга с внешним алфавитом 0,1 , реализующую вычисление функции f x 0 .

11

Решение:

Перед выполнением пятого задания рекомендуем ознакомиться с §2 главы 5 [4] и §3 2 главы

VII [1].

Остановимся на описании устройства машины Тьюринга. Пусть имеется лента, потенциально бесконечная в обе стороны, разделённая на квадраты (ячейки). Имеется некоторое конечное множество символов ленты S0 , S1,..., Sn , называемое внешним алфавитом машины. В каждый

момент времени каждая ячейка может быть занята не более чем одним символом. Машина обладает некоторым конечным множеством состояний q0 , q1,..., qm , называемым внутренним алфавитом. В

каждый момент времени машина находится в точности только в одном из этих состояний. Наконец, имеется читающая головка, которая в каждый данный момент времени находится напротив одной ячейки ленты. Кроме того, головка способна совершать сдвиг на одну клетку вправо (будем обозначать R), влево (L) или осуществлять пустой сдвиг (C). Программа Машины Тьюринга состоит из команд, каждая команда представляет из себя упорядоченную пятёрку символов qi S j qr S p Z . Такую команду будем трактовать следующим образом: в некоторый момент читающая

головка находится в состоянии qi , наблюдает в ячейке символ S j , переходит в состояние qr , записывает в ячейку символ S p и совершает сдвиг Z .

Заметим, что для записи на ленту машины Тьюринга любого натурального числа нам достаточно двух символов. 1 будем обозначать ноль, 11 – единицу, 111 – двойку, …, 11...1 – n;

n 1

символ 0 равнозначен пустой клетке. Договоримся дополнительно о том, что в начальный момент времени читающая головка наблюдает первую пустую слева клетку. Тогда программа,

реализующая вычисление функции f x 0 имеет вид:

12