1 Графы

1.1Основные характеристики графов

Граф G – это математический объект, состоящий из множества вершин X = dox₁,x₂,...,x_nend; и множества ребер A=doa₁, a₂,..., a_mend;. Таким образом, граф полностью определяется совокупностью множеств X, A и обозначается G(X, A).

Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Ребра ориентированного графа называютсядугами. Соответствующие вершины ориентированного графа называютначалом иконцом. Если направления ребер не указываются, то граф называетсянеориентированным(или просто графом).Граф, имеющий как ориентированные, так и неориентированные ребра, называетсясмешанным.Неориентированное ребро графа эквивалентно двум противоположно направленным дугам, соединяющим те же самые вершины.

Множество ребер графа может быть пустым. Множество вершин графа не может быть пустым. Граф G (X, A)–полный, если для любой пары вершинx_i иx_j существует ребро (x_i,x_j).

1.2 Пути и маршруты

Маршрутом илицепью в неориентированном графеG называется такая последовательность (конечная или бесконечная) реберa₁,a₂,...,a_n,…, что каждые соседние два ребраa_i иa_i+1имеют общую инцидентную вершину. Одно и то же ребро может встречаться в маршруте несколько раз. В конечном маршруте (a₁,a₂,...,a_n)имеется первое реброa₁и последнее реброa_n. Вершинаx₁, инцидентная ребруa₁, но не инцидентная ребруa₂, называется началом маршрута, а вершинаx_n, инцидентная ребруa_n, но не инцидентная ребруa_n-1, называется концом маршрута.

Длиной (илимощностью) маршрута называется число ребер, входящих в маршрут, причем каждое ребро считается столько раз, сколько оно входит в данный маршрут.

Иногда ребрам графа сопоставляются числа называемые весом, или длиной ребра. Тогда граф называется графом со взвешенными ребрами. Иногда веса приписываются вершинам графа, и тогда получается граф с взвешенными вершинами. Если в графе веса приписаны и ребрам, и вершинам, то он называется просто взвешенным. Вес пути в графе определяется как сумма весов ребер этого пути. Кратчайшим путем между двумя вершинами называется путь наименьшего веса, соединяющий эти вершины.

1.3 Каркас неориентированного графа

Оптимальным каркасом взвешенного графа называется каркас, минимизирующий некоторую функцию от весов входящих в него ребер. Чаще всего в качестве такой функции выступает сумма весов ребер, реже — произведение. Оптимальный каркас еще называют кратчайшей связывающей сетью для данного графа. Задача о построении кратчайшей связывающей сети встречается в различных приложениях достаточно часто. 

1.4 Задача об оптимальном каркасе

Задача об оптимальном каркасе (стягивающем дереве) состоит в следующем. Дан обыкновенный граф G=(V,E) и весовая функция на множестве ребер u: V R. Вес множества X  E определяется как сумма весов составляющих его ребер. Требуется в графе G найти каркас минимального веса. В этом разделе будем предполагать, что граф G связен, так что решением задачи всегда будет дерево. Для решения задачи об оптимальном каркасе известно несколько алгоритмов. Рассмотрим два из них: Алгоритм Прима и Алгоритм Крускала, алгоритм впервые описан Джозефом Крускалом в 1956 году.