Многокритериальность задач проектирования (основные и дополнительные условия синтеза).

Чтобы получить заданные свойства механизма, надо удовлетворить многим, часто противоречивым условиям, связанным с назначением механизма, его эксплуатацией, технологией изготовления и т. п. Но из всех условий обычно можно выбрать одно основное условие. В рассматриваемом примере это - получение заданной траектории. Все остальные условия называются дополнительными. Например: ограничение длин звеньев, минимальные или заданные габариты, наличие одного или двух кривошипов и т. п. Дополнительные условия в обоих видах синтеза (кинематическом и динамическом) могут быть как кинематическими, так и динамическими, т. е. вид синтеза определяется основным условием.

Критерий оптимизации (целевые функции).

Основное условие обычно выражается в виде функции, экстремум которой определяет выходные параметры синтеза. Эту функцию назовем целевой (по другой терминологии функция цели или критерий оптимизации).

В рассматриваемом примере целевая функция может быть представлена в виде максимального отклонения точки М шатунной кривой от заданной кривой

где у_м — ордината точки М шатунной кривой при некотором значении абсциссы х; у — ордината заданной кривой при том же значении абсциссы х

Ограничения.

Дополнительные условия синтеза также должны быть представлены в математической форме. Эти условия выражаются обычно неравенствами, устанавливающими допустимые области существования параметров синтеза. Поэтому целевая функция вычисляется только для тех комбинаций параметров синтеза, которые удовлетворяют дополнительным условиям, т. е. ограничениям.

В рассматриваемом примере выберем три ограничения. Первое ограничение — ограничение на длины звеньев а, b, с и d. Для того чтобы в механизме не было слишком больших или слишком малых длин звеньев, выбирают четыре положительных числа, удовлетворяющих условиям:

l₁<l₂<l₃<l₄ ; l₄<l₁<m

Из этой четверки чисел можно в любой комбинации выбрать длины звеньев, и во всех комбинациях ни одна из длин звеньев не будет превосходить другую более чем в т раз.

Второе ограничение — механизм должен быть кривошипно-коромысловым, т. е. надо выполнить следующие условия: кривошип есть наименьшее звено и, кроме того, сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше суммы длин двух других звеньев. Отсюда следует, что к условиям (18.3) добавляется еще одно условие

l₁+l₄<l₂+l₃ (18.4)

Третье ограничение — угол давления на коромысло со стороны шатуна должен быть меньше допускаемого значения

θ<θ_доп (18.6)

Понятие об оптимальном проектировании.

Согласно энциклопедическому словарю, задача оптимального проектирования - это экономико-математическая задача, содержащая критерий оптимальности и ограничения и направленная на поиск лучшего в определенных условиях (т.е оптимального) значения показателя.

Оптимизация - отыскание такого решения рассматриваемой задачи, которое дает экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции, называемой целевой [ Ю.А.Казик Математический словарь. Таллин. "Валгус" 1985 ].

При оптимальном метрическом синтезе механизма необходимо определить такое сочетание его размеров (внутренние параметры), которое наилучшим образом удовлетворяет требуемым эксплуатационным и качественным показателям (критерии оптимизации и ограничивающие условия).

При метрическом синтезе качественными показателями обычно являются: габариты механизма, точность обеспечения заданных положений или закона движения (функции положения или передаточной функции), условия передачи сил в КП (углы давления в КП) и другие показатели.

Механизм при оптимальном проектировании характеризуется двумя n-мерными векторами: внутренних параметров и качественных показателей. На значения как параметров, так и качественных показателей могут быть наложены некоторые ограничения в виде равенств или неравенств. Ограничения могут быть:

• параметрическими (например, ограничения на длины звеньев механизмов);

• дискретизирующими (например, выбор размеров из стандартного ряда);