Лекция №13
ПЛАН
1)Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела.
2)Элементарная работа, полная работа силы.
3)Примеры вычисления работ. Работа силы тяжести.
4)Работа силы упругости. Работа пары сил (трения, качения).
Дифференциальное уравнение.
Перейдём к выводу уравнения, описывающего вращение твердого тела, относительно неподвижной оси.
|
Кинетический момент KZ |
JZ |
ω |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда |
dt |
J Z |
ω M Z F k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
JZ |
|
|
|
|
|
|||||
|
Для технических устройств |
|
(неизменнаяconst |
структура вращающегося тела) |
|||||||||||||
|
|
|
|
J dw |
M |
|
F k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
движения твердого тела, если учесть, что |
|||||
|
дифференциальное уравнение вращающего |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
dt |
|
|
Z |
|
|
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
угловое ускорение то уравнение примет вид: |
или ε |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
JZ ε MZ |
|
ek |
dt |
JZ MZ |
|
ek |
||||||
|
|
|
|
|
F |
F |
|||||||||||
Таким образом: если при поступательном движении инерциальной характеристикой является масса тела, то при
вращательном движении такой характеристикой будет
осевой момент инерции.
2. Элементарная работа, полная работа силы.
Формулы, определяющие центр масс, аналогично для формулы центра тяжести т. е. центр тяжести и центр масс совпадающие точки.
Для характеристики действия, оказываемого на тело при некотором его перемещении вводится понятие о работе силы. При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки. Введем сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds.
Элементарной работой силы F называется скалярная величина dA Fτ ds
где |
F |
- тангенциальная проекция силы F на |
касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки.
ds – бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной. Если разложить силу F на составляющие Fτ и Fn, то изменять модуль скорости точки будет только Fτ
Составляющая Fn изменяет направление скорости, и не влияет на модуль скорости, т.е. не будет совершать работу.
знак работы зависит от знака функции |
cosα |
|
Fτ F cosα |
dA Fdscosα |
|
если α – острый; dA>0; α - тупой; dA<0; α=(π/2) dA=0; |
|
|
Элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки умноженное на элементарное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.
Найдём аналитическое выражение элементарной работы, разложив силу F на составляющие Fx,Fy,Fz. MM1=ds – элементарное перемещение
|
аналитическое выражение |
|
||||
элементарнойA F dx работыF dy F dz |
|
|||||
|
|
x |
|
y |
z |
|
Работа силы на любом конечном перемещении М0М1 |
||||||
вычисляется как интегральная сумма элементарных |
|
|||||
работ: |
|
|
|
М1 |
|
|
|
|
|
|
|
А М0 М1 Fτ ds |
|
|
|
|
|
М1 |
М0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А М |
М |
|
Fxdx Fydy Fzdz |
dx,dy,dz – слагаемые из |
|
|
|
|
|
М0 |
|
перемещений вдоль осей x,y,z. |
Работа силы тяжести
Силу тяжести Р материальной точки массой m вблизи поверхности Земли можно считать постоянной и равной P=mg и направленной вниз.
Вычислим работу А силы Р на перемещении от точки М0 до точки М по формуле:
M1 |
|
M1 |
Z1 |
|
z0 mg z0 |
z1 |
|
|
|
|
|||
А Fxdx Fydy Fzdz |
Pxdx Pydy Pzdz mg dz mg z1 |
|||||
M0 |
|
M0 |
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
Px |
|
|
где h=z0-z1 (высота опускания точки). h<0, тоA<0. |
=0 |
|
|
|||
Py |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Pz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно А Ph . – Работа силы тяжести |
=-mg |
|
|
|||
Свойства:
а) работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками М0М1
б) если точки совпадают, то А=0 в) если точки М0, М1, лежат в одной и той же горизонтальной плоскости то А=0
Работа силы трения
Рассмотрим точку, которая будет двигаться по некоторой шероховатой поверхности кривой.
Действующая на точку сила Fтр равна по модулю Fтр f N
где f- коэффициент трения, N – нормальная реакция поверхности. Направление Fтр противоположно перемещению точки.
Fтр f N
M1 M1
AM0 M1 Fтр ds f Nds
M0 |
M0 |
Работа силы упругости
Силой упругости называют силу, действующую по закону Гука F c r
где r – расстояние от точки М до точки статического равновесия, т.е. точки в которой эта сила равна нулю.
с – коэффициент жёсткости.
Выберем начало координат в точке статического
равновесия, тогда:
Fx=-cx
Fy=-cy
Fz=-cz
Работу по перемещению от точки М0 до точки М1 определим по формуле:
А M1 Fxdx Fydy Fzdz сM1 |
хdx уdy zdz cr1 |
rdr |
|
|
|
|
|
M0 |
M0 |
r0 |
|
т.к. xdx+ydy+zdz=rdr после интегрирования |
r 2 х2 |
у2 |
z2 |
А 2c (r12 r02 ) 2c r 2
r- кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до точки статического равновесия обозначим его λ и назовем деформацией, тогда
А 2c λ2
Работу по перемещению от точки М0, до точки М1
Свойства:
а) работа силы упругости всегда отрицательна б) работа не зависит от формы перемещения
в) работа на замкнутом перемещении равна нулю.
Работа силы при вращательном движении
твердого тела Р
Работа постоянной силы приложенной к телу, вращающемуся, вокруг неподвижной оси Z, равна произведению момента этой силы Mz
относительно оси вращения на угол поворота тела φ:
А Р h MZ
h – плечо силы, относительно оси вращения.
При действии переменного момента работу на конечном угловом
перемещении φ определяют. по формуле A Mzd
0
Работа при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси Z равна работе суммы моментов всех сил, приложенных к телу относительно этой оси. А MZ
Тело вращается ускоренно, если А>0 с постоянной скоростью, если А=0 замедленно, если А<0.