5

Лекция №5

Центр параллельных сил .Центр тяжести.

План

1.Центр параллельных сил.

2.Центр тяжести твердого тела.

3.методы определения центров тяжести.

Центр параллельных сил .

Для системы параллельных сил введем понятие центра параллельных сил. На тело действует система параллельных сил Fi приложенных в точкеAi(xi,yi,zi). Выберем оси координат так, чтобы ось OZ была параллельна силам R=|Fi|

Если каждую из сил системы поворачивать около её точки приложения на один и тот же угол, то получим новые системы одинаково направленных параллельных сил с тем же модулем и точками приложения, но с другим общим направлениям.

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но другую линию действия.

Покажем ,что при всех поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С.

Сложим силы F1 и F2,найдем их равнодействующую R1 при любых поворотах сил будет проходить через точку С1,лежащую на А1А2 и удовлетворять равенству F1A1C1=F2A2C1 т.к. при повороте сил ни положение ни это равенство не меняется . Складываем R1 иF3.Их равнодействующая проходит через точку С2 лежащую на C1A3 и т.д. Доведя эту операцию последовательно , мы убедимся, что равнодействующая R всех сил действительно проходит через одну и ту же точку С положение которой по отношению к точке А1,А2,…Аn будет неизменным.

Определение

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил.

Выберем оси координат OXYZ и обозначим координаты точек :

A1(x1,y1,z1)

A2(x2,y2,z2)……An(xn,yn,zn)

C(xc,yc,zc)

Повернем силы так, чтобы они были параллельны OZ и применим теорему Вариньона. Т.к. R-равнодействующая этих сил, то вычисляем моменты относительно ОY

my=(Fi)=R’xc=F1’x1+F2’x2+…+Fn’xn (имеем ввиду ,что Fi’=Fi)

xc= =

Для координаты ус аналогичные формулы получим, вычисляем моменты относительно ОХ. Для zc ,повернем все силы параллельно ОY и применим формулы для координат центра параллельных сил

Xc=

Yc=

Zc=

Центр тяжести твердого тела.

Определение:

Центром тяжести тела называют геометрическую точку ,через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближённо образуют силы

Радиус – вектор центра тяжести тела rc вычислим по формуле

rc= = (1)

где ri –радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку.

Pi- сила тяжести элементарной частицы

P= Pi –сила тяжести всего тела

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей n до ,то после замены суммы интегралом получим

rc= (2)

В проекциях на оси координат из (1) и (2)

Хс= xc=

Ус= yc=

Zc= zc=

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной частицы тела можно вычислить по формуле

рi=V

-удельный вес тела

V-объем элементарный частицы

V -объем тела

Сила тяжести всего тела Р=V подставляя эти значения в (1) и (2) после сокращения на получим формулы по которым определяют центр тяжести тела

rc=Vi

rc=

Для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими

rc=

rc=

где Аi-площадь элементарной частицы поверхности

А-площадь всей поверхности

Методы определения центров тяжести

1.Метод симметрии.

При определения центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для однородного тела, имеющего ось или центр находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии

С

С

2.Метод разбиения на части

Некоторые тела сложной формы можно разбить на части ,центры тяжести которых известны. В таких случаях центры тяжести сложных фигур вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести ,только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которое оно разбито.

Пример : Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Все размеры показаны на рисунке в см.

Решение

Проводим оси координат и разбиваем пластинку на 3 прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром).Вычислим координаты центров тяжести каждого прямоугольника и их площади. Х1=-1см

У1=1см

Х2=1см

У2=5см

Х3=5см

У3=9см

И площади

А1=2*2=4см

А2=2*10=20см

А3=2*6=12см

А=А1+А2+А3=4+20+12=36см

Тогда :

Хс=

Ус=

3.Дополнение частный случай способа разбиения применяется к телам имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

С1(x1,y1), S1

C2 (x2 ,y2),S2

Xc=

Yc=

S=S1-S2

7