- •И.Д. Долгий
- •1.2. Функции алгебры логики (фал) одного
- •Константа 0
- •Фал конъюнкция
- •Фал дизъюнкция
- •2. Преобразование функций алгебры логики
- •2.1. Тождества алгебры логики
- •2.2. Законы алгебры логики
- •2.3. Теорема разложения в ряд функции алгебры
- •2.4. Функционально-полные системы функций
- •2.5. Стандартные формы функций алгебры логики
- •3. Минимизация функций алгебры логики
- •3.1. Некоторые понятия и определения
- •3.2. Аналитический метод минимизации фал
- •3.3. Табличные методы минимизации функций
- •4. Синтез дискретных автоматов
- •4.1. Техническая реализация функций алгебры
- •4.2. Основные сведения о дискретных автоматах
- •4.3. Синтез комбинационных автоматов
2.2. Законы алгебры логики
Переместительный закон:
(2.1)
(2.2)
Из этого закона следует, что в выражениях алгебры логики допустима перестановка мест слагаемых и сомножителей.
Сочетательный закон:
(2.3)
(2.4)
Выражения (2.3) и (2.4) свидетельствуют о том, что при такой записи функций дизъюнкции и конъюнкции скобки можно опустить.
Распределительный закон:
(2.5)
(2.6)
Выражение (2.5) позволяет раскрывать скобки и выносить за скобки отдельные аргументы. Справедливость выражения (2.6) можно доказать с помощью таблицы истинности.
Таблица 2.1.
Наборы аргументов |
|
Левая часть выражения (2.6) |
|
Правая часть выражения (2.6) | |
0 0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 0 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 1 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Из таблицы 2.1. следует, что левая часть выражения (2.6) на всех наборах аргументов равна правой части. Таким образом доказана справедливость данной записи распределительного закона.
Закон инверсии (правило Де-Моргана):
(2.7)
(2.8)
Для доказательства справедливости выражений (2.7) и (2.8) построим таблицы истинности, соответственно таблица 2.2. и таблица 2.3.
Таблица 2.2.
Наборы аргументов |
|
Левая часть |
|
Правая часть | |
0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Левая и правая части выражения (2.7) равны на всех наборах аргументов.
Таблица 2.3.
Наборы аргументов |
|
Левая часть |
|
Правая часть | |
0 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы 2.3. следует, что выражение (2.8) справедливо.
Закон двойного отрицания:
.
Закон повторения:
(2.9)
(2.10)
Выражения (2.9) и (2.10) в доказательстве не нуждаются.
Закон поглощения:
(2.11)
(2.12)
Закон поглощения (2.11) и (2.12) докажем аналитическим путем.
.
.
Закон склеивания:
(2.13)
Доказательство аналитическое
. (2.14)
2.3. Теорема разложения в ряд функции алгебры
логики
Любая функция алгебры логики может быть разложена в ряд на основании теоремы разложения. Теорема разложения может быть представлена двумя формами следующим образом:
(2.15)
(2.16)
В выражениях (2.15) и (2.16) функция разложена по переменной х1. Тождества теоремы разложения доказываются путем подстановки в левые и правые части тождеств в начале,, а затем,. В обоих случаях тождества будут одинаковые.
Функция алгебры логики аналогично может быть разложена по любой из переменных или последовательно по всем переменным.
Пример 2.1. Разложить функцию сначала пох1, а затем пох2.
В результате разложения заданной функции получили ее стандартную форму.
Из теоремы разложения вытекают следующие соотношения, которые широко используются для упрощения функций алгебры логики:
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Докажем справедливость выражения (2.17). Для этого функцию левой части данного выражения разложим по переменнойхi и в результате получим
(2.21)
Левую и правую части выражения (2.21) умножим на хiсогласно (2.17) и с учетом тождестваи закона повторения получим:
.
Аналогично можно доказать соотношения (2.18) ¸(2.20).
Соотношения (2.17) ¸(2.20) позволяют сделать следующие выводы:
1. Если в логическом выражении какой-то из аргументов находится в конъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов записывается 1, а вместо их отрицания 0.
2. Если в логическом выражении отрицание какого-либо аргумента находится в конъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов ставится 0, а вместо их отрицаний 1.
3. Если в логическом выражении какой-то из аргументов находится в дизъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логических выражений вместо одноименных аргументов записывается 0, а вместо их отрицаний 1.
4. Если в логическом выражении отрицание какого-либо аргумента находится в дизъюнктивной связи с одноименными аргументами или их отрицаниями, то при упрощении логического выражения вместо одноименных аргументов записывается 1, а вместо их отрицаний 0.
Пример 2.2. Упростить логическое выражение (логическую функцию) .
Используя соотношение (2.17) получим
.
Пример 2.3. Упростить логическую функцию
.
Применяя соотношение (2.18) получим =
.
Пример 2.4. Упростить логическую функцию
.
Применяя соотношение (2.19) получим =
.