Информатика в техническом университете / Информатика в техническом университете. Компьютерная графика

4.1. Методы и алгоритмы двухмерной компьютерной графики

структуры некоторых множеств однотипных объектов. Любые растровые данные изображения также представляются в виде множеств пикселов, поэтому операции математической морфологии могут быть применены и для исследования некоторых свойств изображения, его формы и структуры, а также для его обработки.

Пусть имеется двоичное изображение, представленное в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) пикселов, причем черным пикселам соответствует цифра 1, а белым — цифра 0. Под областью изображения понимается некоторое подмножество цифр 1 на фоне цифр 0. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества.

В качестве исходных данных принимаются исходное двоичное изображение А

инекоторый структурирующий элемент S. Результатом операции также является результирующее двоичное изображение.

Структурирующий элемент — некоторое двоичное изображение, имеющее определенную геометрическую форму. Чаще всего используются симметричные структурирующие элементы, примеры которых показаны на рис. 4.5. В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной. Она может быть расположена в любом месте элемента, хотя в симметричных элементах это обычно центральный пиксел.

Сначала результирующая пиксельная плоскость заполняется цифрами 0, образуя полностью белое изображение. Затем осуществляется сканирование исходной пиксельной плоскости пиксел за пикселом с помощью структурирующего элемента. Для зондирования каждого пиксела на изображение накладывается структурирующий элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальная точки. Далее проверяется некоторое условие на соответствие пикселов структурирующего элемента и точек изображения под ним. Если условие выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится цифра 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксел, а все единичные пикселы из структурирующего элемента).

По рассмотренной схеме выполняются базовые операции математической морфологии — расширение (dilation) и сужение (erosion). Однако более полезными оказались производные операции — некоторая комбинация базовых операций, выполняемая последовательно. Основными из них являются открытие (opening) и закрытие (closing).

Операция расширения двоичного изображения А на структурирующий элемент S записывается в виде A@S и определяется как A® S = {c\3ae A, se S:c = a + b}. На рис. 4.6, а приведен пример расширения исходного изображения.

Рис. 4.5. Примеры структурирующих элементов

275

4. Методы, алгоритмы и форматы файлов компьютерной графики

Рис. 4.6. Операции расширения (а) и сужения (б):

А — исходное двоичное изображение; S — структурирующий элемент

Операция сужения двоичного изображения А на структурирующий элемент S записывается в виде A(—)S и определяется как A(-)S = {с | Vc © s e A, se S]. На

рис. 4.6, б приведен пример сужения исходного изображения.

Первая основная производная операция — операция закрытия двоичного изображения А на структурирующий элемент S записывается в виде (А ® S) -S. На рис. 4.7, а приведены примеры операции закрытия исходного изображения. Операция закрытия заполняет небольшие внутренние области, принадлежащие изображению, и убирает углубления по краям области.

Вторая основная производная операция — операция открытия двоичного

бражения. Операция открытия удаляет небольшие внутренние области, не принадлежащие изображению, небольшие кусочки изображения, выходящие за границу области изображения, а также расширяет пустые области в изображении.

Следует отметить важное свойство математической морфологии — в результате выполнения морфологических операций в исходном изображении остаются лишь те существенные особенности формы, которые присутствуют в структурирующем элементе, поэтому чтобы не внести в изображение новые ис-

а б

Рис. 4.7. Операции закрытия (а) и открытия (б) изображения

276

4.1. Методы и алгоритмы двухмерной компьютерной графики

между объектом и фоном является размытой. Граница на полутоновом изображении — область, ограничивающая объект, при этом I и III — области постоянных значений, а II — область изменения значения яркости — соответствует перепаду яркости, т. е. области, в которой производная dfldX отлична от нуля. Наиболее распространенной задачей в обработке полутоновых изображений является выделение границ — областей П. Результат представляется в виде бинарного изображения, в котором областям I и III соответствует белый цвет, а области II — черный. Линии черного цвета на бинарных изображениях, соответствующие границам объекта на полутоновых изображениях, называются контурными линиями.

Контурным представлением объекта полутонового изображения называется его описание с помощью контурной линии, ограничивающей объект. Контурная линия рассматривается как 8-связная линия на бинарном изображении, которой соответствует черный цвет, фону — белый. Понятия соседства и связности относятся к контурным (черным) пикселам. Среди контурных линий особо выделяют контурную линию шириной в один пиксел, которая наиболее часто применяется в алгоритмах обработки изображений.

Важными являются понятия низкочастотных и высокочастотных компонентов изображения. Преобладание низкочастотных компонентов в некоторой области означает, что все значения яркости пикселов изображения в этой области постоянны или изменяются очень медленно, эти компоненты определяют общую, среднюю яркость изображения, тогда как области изображения с преобладанием высокочастотных компонентов содержат пикселы с быстрым и резким изменением значения их яркости, т. е. с большим количеством мелких объектов в изображении.

277

4.1. Методы и алгоритмы двухмерной компьютерной графики

Самые простые алгоритмы этого класса — алгоритмы получения негативных изображений или алгоритмы инверсии яркости пикселов. Негативное изображение создается путем вычитания исходного значения яркости каждого пиксела изображения f(X, Y) из максимально возможного значения яркости fw (значение яркости белых пикселов):

g(X,Y)=fw-f(X,Y),

где g(X, Y) — результирующее значение яркости пиксела X, Y.

В данном случае эффективно использовать таблицы преобразований. Например, диапазон значений яркости 8-битного полутонового изображения составляет от 0 до 255. Соответствующая формула преобразования имеет вид

Получение негативных изображений полезно для более сложных преобразований, а также для выделения ярких частей изображения, поскольку глаз человека гораздо более восприимчив к деталям в темной области изображения, чем в светлой.

Другая важная группа алгоритмов этого класса — алгоритмы бинаризации полутоновых изображений, т. е. превращение их в черно-белое (двухградационное) изображение. Такое преобразование осуществляется для того, чтобы сократить информационную избыточность изображения, оставив в нем только ту информацию, которая нужна для решения конкретной задачи (например, для выделения очертания объектов), и исключив несущественные особенности (фон). Эти алгоритмы основаны на пороговой обработке полутонового изображения, которая заключается в разделении всех пикселов изображения на два класса по признаку яркости: пикселы объекта и фона. При этом выполняется поэлементное преобразование вида

279

4. Методы, алгоритмы и форматы файлов компьютерной графики

фоне другой яркости (типичные примеры: машинописный текст, чертежи, медицинские снимки и т. д.). Тогда плотность распределения вероятностей яркости должна выглядеть как два узких пика, как показано на рис. 4.11, а. В этом случае задача установления порога тривиальна: в качестве /0 можно взять любое значение между пиками. Однако обычно изображение зашумлено, кроме того, как для объектов, так и для фона характерен некоторый разброс яркостей. В результате функция плотности распределения вероятностей яркости размывается (рис. 4.11, б). Часто бимодальность распределения тем не менее сохраняется. В такой ситуации можно выбрать порог /о, соответствующий положению минимума между максимумами (модами). Значения элементов изображения ниже определенного значения порога превращаются в черные, в то время как значения элементов изображения, большие или равные значению порога, превращаются в белые. Пороговые алгорит-

мы исключают из изображения ненужную информацию, которая может, например, нарушить процесс обнаружения краев объектов.

На уровне точечных алгоритмов можно решить задачу увеличения контраста изображения. Изображения с низким контрастом могут характеризоваться либо как в основном светлые, либо как в основном темные. Изображения с высоким контрастом, с другой стороны, имеют как темные, так и светлые области. Другими словами, изображения с высоким контрастом используют весь диапазон яркости, соответствующий полутоновым изображениям.

Изображения с низким контрастом состоят из тонов ограниченного диапазона (оттенки серого) и обычно либо слишком ярки, либо слишком темны. На гистограммах это условие регистрируется, когда все образцы изображения группируются друг с другом и занимают только малую часть возможных значений яркости изображения. Если эта группировка значений элементов изображения направлена в левую сторону гистограммы (по направлению к низким значениям яркости), изображение будет черным. Если эта группировка направлена к большим значениям яркости изображения, изображение будет ярким. Гистограммы изображений с хорошим контрастом регистрируют относительно однородное распределение значений яркости элементов изображения без больших пиков или впадин. Как и изображения с хорошим контрастом, изображения с высоким контрастом содержат широкий диапазон серых оттенков. Однако изображения с высоким контрастом имеют большие площади, на которых преобладает темный цвет, и большие площади, имеющие светлую окраску. Основным методом увеличения контраста изображения является использование гистограммы или функции плотности распределения яркости пикселов изображения.

280

4.1.Методы и алгоритмы двухмерной компьютерной графики

Вмалоконтрастных изображениях реальный

стоянные а и Ъ и корректируются значения яркости пикселов изображения. В результате значения яркости между двумя порогами преобразуются в полный диапазон яркостей. Результатом этого процесса будет более контрастное изображение.

Пространственные алгоритмы. Пространственные алгоритмы используют группы пикселов изображения для извлечения информации об изображении. Этим пространственные процессы отличаются от точечных, которые основаны на информации только для одного пиксела при реализации точечного алгоритма. Группа пикселов изображения, используемых в пространственных алгоритмах, называется областью примыкания. Область примыкания — двухмерная матрица значений яркости пикселов изображения, которая обычно имеет нечетное число строк и столбцов. Преобразуемые пикселы (старое значение которых заменяется на новое как результат работы алгоритма) обычно расположены в центре области примыкания.

Большинство пространственных алгоритмов используют пространственные фильтры. В качестве примера рассмотрим задачу повышения резкости изображения с помощью пространственного фильтра. При вводе в компьютер изображения подвергаются действию нескольких искажающих факторов. Обычно эти искажения заключаются в ослаблении верхних пространственных частот спект-

281

4. Методы, алгоритмы и форматы файлов компьютерной графики

значение соответствует центру окна). В данном случае алгоритм повышения резкости реализуется как двухмерный фильтр с конечной импульсной характеристикой. Размеры и форма окна определяют область ненулевых значений импульсной характеристики фильтра. Рассмотрим, как для одномерного случая качественно строится фильтр, подчеркивающий границы. Пусть/(X) — функция яркости вдоль строки исходного нерезкого изображения. На рис. 4.13 кривая 1 представляет собой функцию яркости исходного изображения в области расфокусированной границы объекта.

Процедуру обработки можно разбить на несколько шагов. Сначала осуществляется низкочастотная фильтрация, т. е. дополнительное сглаживание сигнала (обозначим сглаженный сигнал —f\{X), рис. 4.13, кривая 2). Далее из исходного вычитается сглаженный сигнал, в результате чего формируется разностный сигнал — высокочастотное изображение (рис. 4.13, кривая 3):f2(X) =f(X) -/i(X). Затем этот разностный сигнал суммируется (с некоторым коэффициентом) с исходным. Полученный результат g(X) — изображение с повышенной резкостью (рис. 4.13, кривая 4). В спектре этого изображения низкочастотные компоненты не изменились (т. е. общий уровень яркости остался прежним), а высокочастотные усилились (т. е. подчеркнуты локальные особенности — границы, мелкие детали). Рассмотрим эту процедуру для двухмерного случая. Низкочастотная фильтрация (сглаживание) осуществляется усреднением значения яркости в центре окна:

-^i. Y-K2),

D

282

4.1. Методы и алгоритмы двухмерной компьютерной графики

где D — некоторая конечная область в пространстве аргументов X, Y, определяющая окно ((К], К2) е D).

Очевидно, что записанное выражение задает двухмерную свертку дискретного сигнала с импульсной характеристикой h{Kx, К2) сглаживающего фильтра.

Сначала выбираются значения h(Kx, К2) так, чтобы получить сглаживание (усреднение) значений яркости пикселов. К процедуре сглаживания предъявляется требование — она не должна изменять среднее значение (постоянную составляющую, среднюю яркость) изображения, т. е. необходимо выполнение следующего условия:

*' (Kt,K2)eD "4

g. Часто все коэффициенты импульсной характеристики берутся одинаковыми, при этом получается усреднение значений яркости изображения по окну.

Далее вычисляются высокочастотное изображение и изображение с повышенной резкостью, в результате можно получить выражение в виде свертки:

где h(Kx,K2) — импульсная характеристика фильтра, осуществляющего повышение резкости.

На практике из соображений простоты берут обычно центрированное квадратное окно малого размера (3x3 или 5x5). При этом h(Kx,K2) удобно задавать в форме так называемой маски свертки фильтра. Например, типичная маска размером 3x3 для повышения резкости изображений имеет вид

Обозначим Р, значение яркости некоторого пиксела в окне преобразования

a Kj — значение соответствующего коэффициента в маске свертки

283

4.Методы, алгоритмы и форматы файлов компьютерной графики

Врезультате работы алгоритма вычисляется новое значение яркости центрального пиксела в окне, т. е. Р4:

Размеры и структура маски свертки и значения коэффициентов, содержащихся в ядре свертки, определяют тип пространственного алгоритма и применяются к данным изображения. Изменение весового фактора в пределах ядра свертки влияет на величину и, возможно, на знак общей суммы и, таким образом, воздействует на значение рассматриваемого пиксела изображения.

Большой размер маски повышает гибкость процесса свертки. К сожалению, некоторые детали простого расчета весовой суммы свертки усложняют его реализацию. Первая и основная трудность связана с кромками изображения. По мере того как мы перемещаем маску свертки (и соответственно рассматриваемый пиксел изображения) по изображению пиксел за пикселом, возникают сложности, поскольку на границе изображения рассматриваемый пиксел не имеет соседей со всех сторон. Другими словами, маска свертки выходит краем за границы изображения. Такое искажение происходит на верхней, правой, левой и нижней границах изображения. Для устранения этого явления используют два метода:

•данные на краях изображения не учитываются;

•на краях изображения можно копировать пикселы маски для того, чтобы синтезировать дополнительные данные границы.

Рассмотрим другие примеры применения алгоритмов свертки. Низкочастотные пространственные фильтры оставляют низкочастотные компоненты изображения нетронутыми и ослабляют высокочастотные компоненты. Такие фильтры используются для понижения визуального шума, содержащегося в изображении, а также для удаления высокочастотных компонентов из изображения

стем, чтобы можно было тщательнее исследовать содержание низкочастотных компонентов. По мере уменьшения содержания высокочастотных компонентов, могут быть идентифицированы более слабые изменения низкой частоты. Частота отсечки низкочастотного фильтра определяется размером и коэффициентами масок свертки. Ниже приведены три различные низкочастотные маски:

Сумма значений коэффициентов для всех низкочастотных фильтров равна единице. Рассмотрим часть изображения, не содержащую высокочастотных компонентов. Это означает, что все значения элементов изображения постоянны или они изменяются очень медленно. Когда низкочастотная маска проходит через область изображения, новое значение яркости преобразуемых элементов изображения вычисляется как сумма коэффициентов маски, умноженных на

284