Информатика в техническом университете / Информатика в техническом университете. Архитектура вычислительных систем

11.2. Анализ решения сложных задач на вычислительных системах

больше общее число N машин в системе; сделанное допyщение оправданно на практике при N > 10. далее, для сложных задач допустимо составление адаптирующихся параллельных программ, в которых нижняя граница п числа параллельных ветвей не превышает ожидаемого числа работоспособных машин в любой момент времени, т. e. в которых п < 11(i, t). Тогда осущест-

вимость параллельного решения сложной задачи на живучей ВС целесооб-

разно оценивать функцией

где R = [i, интенсивность решения задач на одной ЭМ.

Из формулы (11.3) видно, что функция .7(4 t) является вероятностью

того, что сложная задача, представленная адаптирующейся параллельной программой, будет решена за время t на ВС, начавшей функционировать в

состоянии i Е Ео и использующей для решения задачи все работоспособные ЭМ. Если же ВС функционирует достаточно долго (находится в стационарном режиме), то вероятность решения задачи может быть выражена предельно просто:

Здесь fl =1imfl(i, t) (см. формулу (10.30)).

t-^o,

Функции .(i, t) и .7(t) позволяют проанализировать процесс па-

раллельного решения задачи соответственно в переходном и стационарном режимах работы живучей ВС. Считают, что решение сложной задачи осуществимо на живучей ВС в промежутке времени [0, t), если выпол-

няются неравенства 3(i, t) > з°, t < t° для переходного режима и неравенства 3(t) > з°, t <_ t° для стационарного режима функционирования

системы. Величины з° и t ° называются порогами осуществимости решения сложной задачи на живучей ВС.

Использовав результаты (10.4), в частности формулы (10.28) и (10.39),

можно начти, что

_R Г Nµ t + г?', — (N —Z011 Г1—e—` ^1

если iE{N — m, N — m +1, N}, N?',^mµ;

7(i, t)=1 — exp " mµ (11.5)

( тt t + 1? [1— e—u ]},

если i E {0, 1, ..., N — m —1}, N&> mµ

481

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системах

Расчет числовых значений функции (i, t) , безусловно, проще, чем

F(t) (11.1). Однако численный расчет осуществимости параллельного ре-

шения сложных задач допускает еще одно упрощение. B самом деле, для BC общего назначения типичен режим длительной эксплуатации. Кроме того, ранее было показано (см. § 9.8), что BC достаточно « быcтpo» входят в ста режим работы. Поэтому даже и для BC специального назначенияциoнapный в ряде случаев можно ограничиться анализом их стационарного режима pa-

бoты. Если это так, то очевидная последовательность выкладок c иcпoльзo-

вaниeм формул (11.4), (10.30) и (10.39) приводит к простейшему результату:

11.3.Анализ обслуживания потока задач

на вычислительных системах

Проанализируем работу ВС в режиме обслуживания потоков задач. B общем случае в потоке присутствуют задачи различных рангов r (т. e. c разгдшым числом параллельных ветвей в их программах), где

количество ЭМ некоторой ВС, используемых для обслуживания потока задач (в частности, это может быть общее количество ЭМ в системе). Для решения задач каждого ранга в пределах ВС выделяются одна или несколько подсистем, количество связанных машин в каждой из которых равно соответствующему рангу. Если из-за физических ограничений это осуществить невозможно, то c помощью механизма мультипрограммирования операционной системы осуществляется выделение таких подсистем в виртyaльном смысле.

При наличии потока задач различных рангов функционирование ВС

организуется таким образом, что для задач любого ранга имеются свои подсистемы машин. При этом не представляет особого труда установить интенсивность потока задач любого ранга на соответствующие подсистемы и ин-

тенсивность обслуживания задач каждой из подсистем.

Из сказанного видно, что анализ функционирования ВС при наличии потока задач сводится к решению проблемы в упрощенной постановке. Пусть на ВС (состоящую из N неабсолютно надежных ЭМ) поступает пуассоновский поток простых задач c интенсивностью a. Каждая задача представлена последовательной программой и решается на исправной ЭМ в среднем за время 1/ Г . Требуется рассчитать следующие показатели осуще-

ствимости решения задач: математические ожидания . 4(t) и л3(t) соот-

482

11.3. Анализ обслуживания потока задач на вычислительных системах

ветственно количества задач, находящихся в системе, и количество ЭМ,

занятых решением, в момент времени t > 0. Вместе c тем следует заметить, что такое трансформирование сложности исходной постановки задачи не

всегда удовлетворяет требованиям практики.

Заметим, что формулы для . 4(t) и Щt) можно получить классиче-

скими методами теории массового обслуживания [21, 26] лишь для абсолютно надежных ВС. Поэтому здесь применим опробованный в § 10.4 при-

ем, приводящий к простым расчетным формулам, для двух случаев.

Случай 1. Поток задач имеет слабую интенсивность и такую, что для любого t >_ О выполняется условие

т. e. всегда в системе есть работоспособные и свободные машины для решения пocтyпaющиx задач. Из (11.7) видно, что i3(t) _

Математическое ожидание количества задач, находящихся в системе в момент времени t + At, равно этому количеству в момент t плюс среднее число задач, поступивших в BC за время At, минус среднее число задач, покинувших BC за время At вследствие их решения, т. e.

Очевидные преобразования (11.8) приводят к следующему дифференциальному уравнению:

Неравенство (11.7) устанавливает область допустимых значений для

4(t) при t=0:

Применяя преобразование Лaплaca—Kapcoнa [9], вместо (11.9) получаем алгебраическое уравнение вида

P [--B(P) – А(0)] = a – P jcp),

где p — комплексный параметр; .Л(р) – изображение функции ..A(t). Из

последнего c учетом (11.10) следует

Г4(р) = (р + а)/(р + З).

Используя известную формулу обращения преобразования Лaплaca-

Kapcoнa

483

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системах

.1P+a ^ a + .1R — a e-pr

P+R R R

находим решение уравнения (11.9) при начальных условиях (11.10):

(11.11)

Пoдcтaнoвкa t = 0 в (11.11) и самой функции ..,A(t) в (11.9) убеждает в том,

что (11.11) удовлетворяет начальному условию (11.10) и ypaвнeнию (11.9).

B стационарном режиме среднее количество задач, находящихся в BC,

Следовательно, поток поступающих на BC задач считается cлaбoинтeнcив-

ным, если выполняются неравенства:

Таким образом, (11.13), (11.14) указывают на условия, при которых справедлива формула (11.11) для расчета математического ожидания кoличecтвa задач, находящихся в BC в момент времени t 0. B частности, если среднее количество отказов, появляющихся в единицу времени в BC

(т. e. N?,), не превышает производительности восстанавливающей системы

(т. e. mt) и если среднее количество задач, поступающих в единицу вpeмeни (a), не более потенциальной производительности BC (жз), то расчет среднего количества задач в системе можно производить по простым формулам (11.11) и (11.12).

484

11.3. Анализ обслуживания потока задач на вычислительных системах

Случай 2. Поток поступающих на ВС задач сильноинтенсивный и таков, что имеет место неравенство

4(t) > 1(i, t) .

Следовательно, ВС эксплуатируется в условиях, когда имеется очередь задач, ожидающих обслуживания. Тогда /?(t) =11(i, t) и справедлива такая последовательность выкладок:

.,A(t + At) = .'A(t) + aAt + 11(i, t)?'At — Y1(i, t)ROt;

После применения преобразования Лaплaca—Kapcoнa к (11.15) находим, что

р [.(р) - .'4(0)] = a + (?.. - )1(i, р),

следовательно,

-. а ?‚ — fЗ — .

P P

Для изображения fl(i, p), как было установлено в § 10.4, справедлива

485

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системax

далее, если подставить значение 1(i, p) при N?, > m(? , + µ) в форму-

лу (11.16), то можно найти, что

Тривиален путь превращения этого изображения 9(p) в оригинал

4(t).

Общая формула для математического ожидания количества задач, находящихся в BC в момент времени t > 0 при невыполнении неравенства

(11.7), имеет вид

Заметим, что выражения (11.17)—(11.19) характеризуют процесс oб- cлyживaния cильнoинтeнcивнoro потока задач BC независимо от режима

(переходного или стационарного) ее работы. Однако в стационарном peжимe функционирования BC третьим и первым слагаемыми в (11.17) можно

пренебречь. B самом деле, при t -+ oo функция e-zf -+ 0, a первое слагаемое становится пpeнeбpeжимo малым по сравнению co вторым. Таким образом,

математическое ожидание количества задач, находящихся в системе в мoмeнт t 0, для стационарного режима работы BC не зависит от начального

числа задач и начального состояния BC и имеет вид

x

Очевидно, что величина a является средним числом задач, на которое увеличивается в единицу времени их общее число в системе или очередь нерешенных задач. Условием, при котором очередь нерешенных задач будет

неограниченно расти во времени, является неравенство a' > 0 или

> уIJ(Р - ?)/х.

486

11.4. Оценка потенциальных возможностей ВС по осуществимости решения задач

Учитывая последнее неравенство, формулы (11.18), (11.19), a также, что ?, « µ, получаем более простое условие роста очереди нерешенных задач:

Из (11.21) следует, что показатель . 4(t) осуществимости решения за-

дач потока следует рассчитывать по формулам (11.17)—(11.19), если интенсивность потока задач выше суммарной интенсивности их решения всеми

машинами ВС при условиях неабсолютной надежности ЭМ и работы восстанавливающеи системы.

Заметим, что во втором случае производительность и надежность ВС и производительность восстанавливающей системы недостаточны для того, чтобы все поступающие задачи решались без простаивания в очереди. Если анализ убеждает в справедливости (11.21), то, для того чтобы избежать об-

рaзования очереди задач на обслуживание, необходимо ввести в эксплуата - мощную и надежную ВС (или, в частности, увеличить произвоциюболее

дительность восстанавливающей системы).

Таким образом, случай 1 практически наиболее важен.

11.4. Оценка потенциальных возможностей вычислительных систем по осуществимости решения задач

1.для ВС, организованных как системы со структурной избыточно-

стью или как живучие ВС, существуют, как показано выше, показатели осуществимости решения задач. Эти показатели устанавливают взаимосвязь между количественными характеристиками надежности или живучести ВС

и вероятностными параметрами поступающих на решение задач. Они дают

информацию o качестве работы ВС и в переходном, и в стационарном режимах. Полученные расчетные формулы практически приемлемы для целей экспресс-анализа осуществимости решения задач на ВС c произвольным количеством ЭМ.

2.Численное моделирование показало, что до 10 ч устанавливается стационарный режим решения задач на ВС. данный факт приводит к предельной простоте в экспресс-анализе процесса решения задач на неабсолютно надежных ВС.

3.Континуальный подход адекватен и эффективен при анализе осуществимости параллельного решения задач на большемасштабных распре-

деленных ВС.

12.1. Цена быстро действия вычислительных систем

со' =

где со' номинальное быстpодействие ЭМ; v цена ЭМ; h коэффициент, имеющий размерность а > 2.

B современных большемасштабных ВС элементарная машина представляет собой микропроцессорную БИС (например, тpанспьютер, см. § 7.6, 8.3 и 8.6). Относительная цена локального коммутатора по сравнению c остальной частью такой машины достаточно мала. Следовательно, если закон Гроша выполняется для микропроцессорной ЭВМ, то он будет справедлив и для элементарной машины ВС; значит, его можно

использовать при анализе технико-экономической эффективности проек-

тируемых ЭМ.

C другой стороны, закон Гроша нельзя распространить на ВС как коллектив ЭМ. Если исходить из обратного и учитывать, что цена системы из N ЭМ равна V = Nv, то при расчете показателя производительности S2 ВС

получим значение, прямо пропорциональное (Nv)а, где a > 2. Такая зави-

симость находится в резком противоречии c закономерностью (9.1), установленной и теоретически, и практически [5, 6] :

SZ = АN Nгв,

где со—показатель производительности одной ЭМ; АN > 1.

Итак, для вычислительных систем справедлив следующий закон:

выражающий взаимосвязь между показателем производительности п рассматриваемой ВС и ее ценой V; ц, коэффициент, имеющий размерность.

При технико-экономической характеристике ВС (как и ЭВМ) широко используется и цена одной операции в секунду

(12.1)

B § 2.5 приведены числовые значения цены одной операции в секунду для ЭВМ:

а = v/o.

Характерно, что для ЭВМ первого поколения этот показатель составлял значительную величину 10 долл./опер./с. C появлением ЭВМ второго и третьего поколений значения цены одной операции в секунду уменьшались на порядок.

Y первых конвейерных и матричных ВС значения показателя Е были того же порядка (табл. 12.1), что и значения в для ЭВМ третьего поколения.

12. Технико-экономическая эффективность функционирования систем

Однако ВС позволили достичь производительности на порядок выше, чем в ЭВМ третьего поколения.

Архитектура и конвейерных ВС (см. гл. 4), и матричных ВС (см. гл. 5) характеризуется тем, что вычислительные процессы в них организуются единым устройством управления (точнее, хост-компьютером или сосредоточенным аппаратурно-программным комплексом). Дальнейшее уменьшение цены одной операции в секунду (12.1) достигается в модифицированных мультипроцессорных системах (см. гл. 6) и в системах c программируемой структурой (см. гл. 7). Названные системы обладают не только «распределенным» процессором и памятью (как это имеет место в матричных ВС), но и распределенным управлением, именно поэтому для них часто используют и обобщающее понятие <.распределенные ВС». Этот термин получил распространение за рубежом, по-видимому, в 80-x годах прошлого века. B отечественной литературе он использовался применительно к подклассу ВС c программи-

руемой структурой (см. § 7.1). Ниже этот термин будет употребляться, когда

речь пойдет o ВС c программируемой структурой, в которой ресурсы (ЭМ) рассредоточены в пространстве (так же, как в сетях).

Таким образом, дальнейшее уменьшение цены операции в средствах вычислительной техники может быть достигнуто в основном в результате применения не-фон-неймановских архитектурных решений.

12.2.Математическое ожидание бесполезных расходов при эксплуатации вычислительных систем

Пусть имеются вычислительная и восстанавливающая системы, состоящие соответственно из N элементарных машин и m устройств,

N m 0; ?, и µ — интенсивности соответственно отказов ЭМ (2.14) и

восстановления отказавших ЭМ одним восстанавливающим устройством

1и с2 — стоимости соответственно эксплуатации одной ЭМ(ВУ)(2.18);c

исодержания одного BY (2.28) в единицу времени. Требуется оценить(2.27) средние эксплуатационные расходы при работе BC в переходном и cтaциo-

нapнoм режимах.

490