Информатика в техническом университете / Информатика в техническом университете. Архитектура вычислительных систем

10.4. Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем

10.4. Расчет функции потенциальной живучести

вычислительных систем

Из формул (10.3) и (10.4) следует, что расчет функций потенциальной живучести ВС DV(i, t) и занятости восстанавливающей системы М(i, t) сво-

дится к вычислению математических ожидании соответственно числа исправных ЭМ и числа занятых ВУ в момент времени t > 0

при условии, что в начальный момент t = 0 было i Е Е работоспособных машин.

Прежде чем вывести дифференциальные уравнения для

IV(i, t) , получим вспомогательные оцешт. Учитывая (2.14), (2.15) и (2.21),

найдем вероятность того, что в ЭМ произойдет не менее одного отказа за

время At:

^

1 - r(or) = r, (or) + 4 (6,0= ,ote 'ы + o(At) = ?',or[i - ?«At + k=2

+ o(Ot )] + o(At) = ?«(At) + o(At) = r, (Ot) + o(Or).

Следовательно, в машине за время At может произойти только один отказ c вероятностью ,Аt; вероятность появления за At более одного oткaзa есть величина порядка o(At).

Вспомним (2.14), что ?. — среднее число отказов, появляющихся в

машине за единицу времени, следовательно, 11(i, t)Аt есть среднее число отказов, возникающих в системе на промежутке времени [t, t + At). Пo- cкoлькy за время At в машине может произойти не более одного отказа, то 11(i, ОХлt и будет средним числом ЭМ, вышедших из строя на промежутке времени [t, t + At). Аналогично рассуждая, убеждаемся, что i'Y1(i, t)µАt есть среднее число восстановленных ЭМ на промежутке времени [t, t + At),

1EEо' .

Легко заметить, что математическое ожидание числа исправных ЭМ в BC в момент времени (t + At) равно этому числу в момент t, уменьшенному

на среднее число отказавших машин и увеличенному на среднее число вoc-

Перенеся 11(i, t) в левую часть (10.22), разделив на At и перейдя к пределу при At – 0, получим уравнение

471

10. Живучесть вычислительных систем

где i E EN_„, _ {N–m, N–m+],..., N}.

Область определения устанавливается из следующего: неравенство

(10.25) должно выполняться и при t = 0, a в начальный момент y/(i, 0) = i,

значит, (10.25) превращается в неравенство N – i m.

B рассматриваемом случае уравнение (10.23), как легко установить из (10.24), (10.25), трансформируется к виду

µµ

472

10.4. Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем

B результате пoдcтaнoвoк легко убедиться, что решение (10.28) удовлетворяет начальному условию и уравнению (10.26). Учитывая (10.24), по-

лучаем

(i, t)_ — e iЕ{N—т,N—т+1,...,N}. (10.29)

B стационарном режиме математические ожидания числа работоспо-

собных ЭМ и числа занятых восстанавливающих устройств не зависят от начального состояния ВС i Е Е, и соответственно равны:

Выведем условие, при котором (10.25) выполняется на всем промежутке времени [0, ю). Очевидно, что функция (10.28) монотонная. Если

функция {'/(i, t) убывающая, то выполнение (10.25) на всем промежутке времени обеспечивается заданием начального состояния i E Е. Если же функция 1(i, t), i E E"_m , возрастающая, то (10.25) должно выполняться и при t — ю. Тогда из (10.25) и (10.30) следует, что

Таким образом, при заданных параметрах BC N и неравенство является условием высокой производительности восстанавливаю- (10.32)

щей системы. Для средств BT практически всегда выполняется неравенство

?, « µ, поэтому вместо (6.32) можно записать

(10.33)

Из (10.33) видно, что восстанавливающая система может быть отнесена к высопpоизводительным, если среднее число отказов, появляющихся в единицу времени в ВС, не превышаетсреднего числа восстановлений, которые могут произвести все ВУ за ту же единицу времени. Величина mµ яв-

ляется количественной характеристикой производительности восстанавливающей системы.

Условия (10.32) или (10.33), как правило, удовлетворяются, поэтому

для расчета функций потенциальной живучести ВС (10.3) и занятости вос -

станавливающей системы (10.4) можно пользоваться формулами:

473

10. Живучесть вычислительных систем

a для вычисления коэффициентов потенциальной живучести BC (10.13) и

занятости восстанавливающей системы (10.14) — формулами:

Случай 2. Восстанавливающая система имеет невысокую производительность, т. e. при любом t 0

Очевидно, что в этом случае ?'I(i, t) = m, a уравнение (10.23) пpини-

a условиями малой производительности восстанавливаю щей системы

Функция занятости восстанавливающей системы тождественно равна

константе: W(t) = 1 = 1.

Случай 3. Восстанавливающая система имеет невысокую производительность, но 11(i, 0) = i, i Е Е. B этом случае до момента времени t *, когда впервые нарушится условие (10.25), будут справедливы формулы

(10.34), (10.35). C момента t * будет справедлива формула (10.40), в которой следует положить

Случай 4. Восстанавливающая система имеет высокую производительность, однако 11(i, 0) = i, i Е Ео-m-1 . B этом случае вначале будет спра-

474

10.4. Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем

вeдливa формула (10.40); c момента t когда впервые нapyшитcя условие справедливыми станут уже формулы (10.34), (10.35), в которых(10.37),

i =N – m.

Вероятность ситуации, соответствующей случаю 1, существенно вышe вероятности случая 2. Случаи 3 и 4 практически маловероятны.

Результаты, полученные в данном параграфе, свидетельствуют лектическом единстве ЭВМ и BC, позволяют глубже понять физический

смысл функции N(i, t) потенциальной живучести BC. B самом деле, нe-

cмoтpя на кажущееся на первый взгляд различие в приемах расчета функции готовности ЭВМ и функции (10.2) N(i, t), при внимательном pac-(2.19)

cмoтpeнии обнаруживается единообразие не только в схемах проведения

расчетов, но и в окончательных результатах. Так, формулы (2.24) или (2.25) для функции готовности ЭВМ являются частными результатами по oтнoшeнию к формуле (10.з4) для функции потенциальной живучести BC. B cпpa-

вeдливocти последнего легко убедиться при пoдcтaнoвкe в (10.34) 1= N или

времени пребывания машины в работоспособном состоянии, т. e. в cocroя-

нии, когда она способна работать c потенциально возможной производи-

тeльнocтью. Koэффициeнт гoтoвнocти ЭBM пoлнocтью coвпaдaeт c кoэффи-

циeнтoм (10.13) потенциальной живучести BC (см. формулы (2.26) и

(10.36)). Значит, коэффициент потенциальной живучести BC дает инфopмa-

цию o средней доле времени функционирования каждой ЭМ системы c пoтeнциaльнo возможной производительностью. Из вышесказанного и из

формул (10.2), (10.28)–(10.31), (10.39) следует, что математические oжидa-

ния производительности (емкости памяти и т. п.) BC и производительности

где w — производительность (емкость памяти) одной ЭМ.

475

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системax

При организации функционирования ВС в случае набора задач учитывается не только количество задач, но их параметры: число ветвей в програм-

ме (точнее, число машин, на которых она будет выполняться), время решения

или вероятностный закон распределения времени решения и др. Алгоритмы

организации функционирования ВС [5] задают распределение задач по машинам и последовательность выполнения задач на каждой машине. В результате

становится известным, в каком промежутке времени и на каких машинах (или на какой подсистеме) будет решаться любая задача набора. Этот режим, безусловно, является обобщением режима решения сложной задачи на ВС.

Вместе c тем c позиций теории осуществимости решения задач этот режим без нарyшения общности сводится к первому. В самом деле, осуществимость решения любой задачи набора зависит от параметров заданной

для нее подсистемы, a анализ эффективности работы последней ничем не

отличается от анализа всей системы при решении одной сложной задачи. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только режима решения одной сложной задачи на ВС.

Режим обслуживания потока задач на ВС принципиально отличается от обработки задач набора: задачи поступают в случайные моменты времени, их параметры случайны, следовательно, детерминированный выбор подсистем для решения тех или иных задач исключен.

Для режимов решения сложной задачи и обслуживания потока задач

на ВС ниже будут приведены показатели осуществимости и рассмотрены методы их расчета. При анализе осуществимости решения задач будем учи-

тывать большемасштабность и масштабируемость ВС.

11.2. Анализ решения сложных задач

на вычислительных системах

Возможность программирования структуры ВС позволяет организовать решение одной сложной задачи на виртyaльных конфигурациях, названных системами со структурной избыточностью и живучими ВС (см. § 9.2 и 10.1). В первом случае число параллельных ветвей в программе фиксировано и равно n, a во втором это число варьируемо от п до N, где N общее число элементарных машин в ВС, n < N.

11.2.1. Функция осуществимости решения задач на вычислительных системах со структурной избыточностью

Осуществимость решения задачи на ВС со структурной избыточно-

стью оценивается функцией

478

11.2. Анализ решения сложных задач на вычислительных системах

где R(t) функция надежности системы или вероятность безотказной работы ВС в течение времени t (9.6); Ф(t) вероятность решения задачи на п работоспособных ЭМ за время t, т. e. Ф(t) = P{0 < < t}, случайная

величина, являющаяся моментом решения задачи на множестве из п ис-

правных машин.

B момент начала решения задачи ВС может находиться в состоянии i Е Ен = {п, n +1, ..., N) , т. e. в ней может быть исправно i ЭМ. Если во множестве из i работоспособных ЭМ можно выделить подмножество из п <i, i Е Е, связных машин, тогда это подмножество будет подсистемой,

способной выполнять программу из n ветвей. B. случае, когда совокупность

i Е Е» работоспособных ЭМ распадается на несвязанные между собой подсистемы (c числом ЭМ в каждой из них меньшим п), в системе исчезает возможность реализации программы из п ветвей. Функция Ф(t) это вероятностный закон решения сложной задачи на любой совокупности из n

работоспособных машин при произвольном их распределении в пределах

всей ВС. Вид этого закона устанавливается на основе статистической обработки результатов решения задач на ВС.

При эксплуатации статистически установлено [22], что закон распре-

., деления времени решения простых задач на одной машине является экспо-

ненциальным. Данный факт и опыт решения сложных задач на ВС позволяют считать, что

где Р,, интенсивность (1/ Ап

нах. Практически величина Rn близка к п(3, (при любом из способов обра-

ботки информации: распpеделенном, матричном, конвейерном), что является следствием методики крупноблочного распараллеливания сложных задач (см. разд. 7.2.2).

Следовательно, ф

стью за время t > 0 сложная задача, представленная параллельной программой c n ветвями, будет решена на неабсозпотно надежной ВС, в которой из N машин

(N — п) ЭМ составляют структурную избыточность (в частности, резерв).

Поскольку R(t) и Ф(t) являются соответственно невозрастающей и неубывающей функциями, то существует такое значение 1,п времени, при котором F(t) достигает максимума: F(t) = тах F(t). Из последнего видно,

что наиболее вероятно ожидать решения задачи в момент 1 „ после прохож-

дения этого времени вероятность решения задачи уменьшается и асимпто-

тически стремится к нулю.

479

11. Осуществимость решения задач на вычислительных системах

Функцию F(t) (11.1) называют функцией осуществимости решения

задачи на BC co структурной избыточностью (или функцией осуществимости решения задачи на п машинах BC). При этом говорят, что решение cлoжнoй задачи осуществимо на системе co структурной избыточностью (на n мaшинax BC), если для некоторого t одновременно имеют место неравенства

F(t) F°, t t° ; F° и t° называют порогами осуществимости параллельного решения задачи и их значения выбирают из практических соображений.

Методика расчета функции осуществимости F(t), как следует из

(11.1), ничем не отличается от методики расчета функции надежности BC, т. e. R(t) . B § 9.4 отмечены вычислительные трудности при выводе формул

для R(t). Численный расчет F(t) не обходится без привлечения методов

вычислительной математики, следовательно, он не может быть выполнен

без применения средств BT. Учитывая ориентацию данной книги, мы вынуждены отказаться здесь от выкладок, приводящих к формулам для пporpaммиpoвaния, и сослаться на Приложение 2 или [5].

Если анализировать осуществимость решения задач на BC, режим работы которой стационарен, то вместо (11.1) достаточно использовать

F* (t) = R^(t)Ф(t),

где R' (t) рассчитывается по формулам (9.13) и (9.36). Функцию F' (t) на-

зовем функцией оперативной осуществимости решения задачи на BC co структурной избыточностью.

Ha практике при расчете F' (t) достаточно учесть лишь оценку

снизу для R`(t), т. e. (9.40). Однако даже и при такой точности расчета ана-

лиз осуществимости параллельного решения задач не может быть выполнен без применения ЭВМ или BC, т. e. анализ остается трудоемким. Чтобы вce-

тaки удовлетворить потребности инженеров (a не исследователей в области

анализа функционирования BC), ниже рассчитаем показатели, позволяющие легко оценить потенциальную осуществимость решения задачи на BC. По

будет вполне достаточно для инженеров-проектировщиков, экc-cлeднero

плyaтaциoнникoв и пользователей BC.

11.2.2. Функция осуществимости решения задач на живучих вычислительных системах

Математическое ожидание 1(i, t) числа работоспособных машин при условии, что в начальный момент времени было исправно i Е Ео = {0, 1, 2, ... , N} ЭМ, достаточно точно говорит об уровне потенциaльной производительности ВС в любой момент t > 0. Это тем точнее, чем

480