Информатика в техническом университете / Информатика в техническом университете. Архитектура вычислительных систем

2.8. Надежность ЭВМ

где о(At) величина более высокого порядка малости, чем At. Аналогично действуя, находим вероятность того, что ЭВМ за время At не откажет:

заметим, что ЭВМ может оказаться в момент t + At в работоспособном состоянии и не только в результате наступления описанных выше собы-

тий. Например, при условии, что ЭВМ при t > 0 работоспособна, наступление сложного события, заключающегося в том, что на промежутке времени [t, t + At) происходят отказ и восстановление ЭВМ, приводит к интересую-

щемy нас состоянию. Однако вероятность того, что данное сложное событие произойдет, равна

n (At)u(At) = ?',er[i - ?,er + o(er)] [µer + o(or)j = o(At),

что следует из (2.15), (2.20) и (2.21). Легко убедиться в том, что если ЭВМ в момент (t + At) оказывается в работоспособном состоянии в результате нa-

cтyплeния на промежутке времени [t, t + At) более одного из coбытий «отказ» и «восстановление», то изучаемые вероятности также имеют вид o(At).

Таким образом, вероятность нахождения ЭВМ в момент времени

(t + At) в работоспособном состоянии будет равна

(в силу независимости и нecoвмecтнocти рассматриваемых coбытий). Перенеся s(i, t) в левую часть в (2.22), разделив на At и перейдя к пределу при

At -+0 в обеих частях рассматриваемого равенства, получим следующее

дифференциальное уравнение:

Решениями уравнения (2.23), как легко убедиться пyтeм пoдcтaнoвoк, при начальных состояниях ЭВМ i = 0, i =1 соответственно будут функции:

91

Полученные формулы (2.24), (2.25) позволяют оценить готовность

ЭВМ в переходном режиме функционирования. Если достаточно orpaничитьcя анализом стационарного режима работы ЭВМ, то вместо (2.24) и (2.25) можно использовать предельно пpocтyк формулу для коэффициента готовности ЭВМ:

в которой нет зависимости от начального состояния ЭВМ i Е Е. Уместно заметить, что ЭВМ «быстро» входят в стациов арный режим работы, поэтому на практике, как правило, следует использовать не функцию готовности, a коэффициент s (2 .26).

Замечание. На практике и в технической лип ературе довольно часто используется выражение типа «Hадежность ЭВМ равна 0, )99», однако это жаргонное вы-

рaжение, которое не имеет однозначного толкования. Под «надежностью» можно

понимать значения или функции надежности, или функции готовности ЭВМ для

некоторого времени, но чаще всего под «надежностью» понимают коэффициент

готовности машины.

2.8.5. Функция осуществимости решения задач на ЭВМ

Цель функционирования ЭВМ — решение поступивших задач (выпoлнeниe программ решения задач). Однако в вeдeнныe показатели нaдeжнocти ЭВМ (2.10), (2.17), (2.19) устанавливают взаимосвязь лишь между пo-

тeнциaльнo возможной производительностью н надежностью машины (бeз-

oткaзнocтью, peмoнтoпpиroднocтью, готовностью), т. e. характеризуют качество функционирования ЭВМ безотносительно к процессу решения зa-

дaч. Этот пробел можно устранить, если иcпoпьзoвaть для характеристики

работы ЭВМ функцию ocyщecmвuмocmu peшeнs.iя задач f(t) = r(t)cp(t),

где r(t) — вероятность безотказной работы ЭВМ (2.10); cp(t) = P{0 т

т. e. ф(t) — вероятность события {0 г < t}; r — случайная величина, яв-

ляющаяся моментом решения задачи на paбo rocпocoбнoй (абсолютно надежной) ЭВМ. B качестве закона распределения времени решения задач на

ЭВМ может быть взят экcпoнeнциaльный

92

2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ

(p(t) =1– exp(–pt).

Здесь (3 — интенсивность решения задач на машине.

Говорят, что решение задачи на ЭВМ осуществимо, если для некото-

рого t одновременно выполняются f(t) f0 и t t, где f° и t° — «по-

роги осуществимости»; они выбираются из практических соображений. Интepec представляет также величина f(t,,,) = max f (t), которая определяется

численными методами.

2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ

K технико-экономическим относятся такие показатели ЭВМ, которые характеризуют экономическую сторону разработки, производства, ввода в

действие и эксплуатации машины как единого комплекса аппаратурнопрограммных средств. Ниже будyт введены стоимостные параметры, связанные c эксплуатацией ЭВМ, и цена операции; детально рассмотрен аналитический подход к технико-экономическому анализу функционирования машины; изучена взаимосвязь между надежностью и стоимостью ЭВМ.

2.9.1. Стоимость эксплуатации ЭВМ

Рассмотрим суммарные расходы V1 , связанные c эксплуатацией ЭВМ в течение достаточно длительного времени 5 :

б

V1 =^vi.

i=1

Здесь компоненты vi определяются за время .:s, причем:

v1 стоимость амортизации ЭВМ и вспомогательного оборудования для нее; v1 = kv, v цена машины и вспомогательного оборудования для нее; k коэффициент амортизации;

v2 стоимость содержания восстанавливающего устройства (бригады обслуживания);

v3 стоимость запасных технических средств (материалов, деталей,

приборов, интегральных схем и типовых элементов замены и т. п.), расходуемых при устранении отказов в ЭВМ;

v4 стоимость вспомогательных средств (бумаги, картридркей, дис-

кeт, компакт-дисков и т. д.), необходимых для нормального функциониро-

вания ЭВМ;

93

2. Архитектура электронных вычислительных машин

v5 стоимость электроэнергии, потребляемой при эксплуатации ЭВМ и вспомогательного оборудования;

v6 накладные расходы (амортизация помещения и т. д.).

Величину Т часть времени :s, использованную на решение задач, будем считать полезным временем эксплуатаци и ЭВМ.

Отношение с1 = V1 / Т будет себестоимостью единицы полезного времени при эксплуатации машины.

Стоимостью эксплуатации ЭВМ назовем

где V2 = v- + v8 , v-, плановая прибыль от эксплуатации машины; v8

отчисления в фонд развития (т. e. на расширение аппаратурно-программно- го сервиса: приобретение и подключение новых технических средств, составление стандартных программ, разработку пакетов прикладных программ и языков программирования и т. д.) за время s.

Себестоимость и стоимость содержания восстанавливающего устройства в единицу времени определяются выражениями:

ЭВМ восстанавливающим устройством. B самом деле, среднее время между двумя восстановлениями ЭВМ равно Х-1 + µ -1 = (? + µ)(?,µ)-1 и, следовательно, число восстановлений за время s составляет + µ) -1 =1. Тогда стоимость с3 = v3 / 1, что и доказывает справедливость (2.29).

2.9.2. Цена быcтpoдeйcтвия ЭВМ

B отечественных и зарубежных исследованиях выявлен эмпирический закон, устанавливающий взаимосвязь между r. гроизводительностью и стои-

мостью ЭВМ. Этот закон называют законом I'роша (Grosch's Law) и запи-

сывают в следующем виде:

^=hva ,

94

2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ

нальное быстродействие ЭВМ, см. (2.5)); v цена маца ны; константа a > 2 и

коэффициент h, имеют размерность, зависят от технологии производства. Закон Гроша используют при оценке качества проектирования средств вычис-

лительной техники. Следует заметить, что он имеет силу в ограниченном диа-

пaзоне производительности (до 108 опер./c), точнее, для вычислительных средств, структура которых близка к ЭВМ дж. фон Неймана. При переходе к

параллельным структурам вычислительных средств закон Гроша теряет силу. Широкое распространение получила на практике количественная ха-

рактеристика ЭВМ в = v / w, которую называют ценой (одной) операции (в секунду). Если в качестве со рассматривается не номинальное быстродейст-

вие (2.5), a среднее быстродействие (2.4), то величина в называется ценой быстродействия ЭВМ.

2.9.3. Математическое ожидание бecпoлeзныa расходов при эксплуатации ЭВМ

B процессе эксплуатации ЭВМ ее состояния чередуются. Очевидно, что если машина работоспособна, то простаивает ВУ; появление отказа в ЭВМ прекращает пpocтoй ВУ, но приводит к простою самой машины. Экcплyaтaциoнныe расходы (потери), вызванные этими простоями, будем cчи-

тaть бесполезными [6].

Пусть Pk (At) — условная вероятность того, что ЭВМ, находящаяся в момент времени t 0 в состоянии 1, перейдет через время At в состояние k,

1, k e Е. Пусть также Г(i, t) — математическое ожидание бесполезных эксплуатационных расходов к моменту t >0 при условии, что в начальный момент (при t = 0) машина находилась в состоянии i E Eo. Выведем диффepeнциaльнoe уравнение для функции Г(i, t), i E Е. Средние расходы

Г(i, t + At), i E Е, при экcплyaтaгцш ЭВМ в течение времени t + At (где At —

бесконечно малый промежуток времени) складываются из затрат за время t и издержек, которые имеют место на пpoмexcyткe времени

Вероятности Po (i, t) или P (i, t) того, что ЭВМ при t 0 неработоспособна или работоспособна, соответственно равны [1– s(i, t)] или s(i, t),

i E Е (см. формулу (2.19)); вероятность Poo(Ot) того, что отказавшая ЭВМ на промежутке времени не будет восстановлена, равна

(см. формулу (2.17)), a вероятность P 1(0t) того, что работоспособная ЭВМ на этом же промежутке не откажет, равна r(At) (см. формулу (2.10)).

95

2. Архитектура электронных вычисл лтельных машин

Если ЭВМ в момент времени t > о нераЕ отоспособна и на промежутке времени [t, t + At) не будет восстановлена, то потери вследствие отказа

Po(i, t)Роо (Аt)сi Аt + o(At) = [1 - s(i, t)][1 - и(zt)]сiАt + o(At) , iEEo. (2.30)

Если же машина в момент времени t C работоспособна и сохранит

свое состояние и в последующие At единиц в peмeни, то бесполезные эксплуатационные расходы определяются пpocтoe]vI BУ:

Подставив в (2.32) оценки (2.20) и (2.21) для u(At) и r(Ot), получим

далее, если в (2.33) Г(i, t) перенести в левую часть, затем поделить на

At обе части равенства и перейти к пределу при At -+0, то получим диф-

фepeнциaльнoe уравнение

в качестве начальных условий естественно взять Г(i, 0) = 0.

Решение дифференциального уравнения (2.34) при заданных началь-

B справедливости формул (2.35)-(2.38) легко y5eдитьcя, подставив s(i, t) из выражений (2.24), (2.25) в формулу (2.34) и про интerpиpoвaв.

96

2.9. Технико-экономический анализ функционирования ЭВМ

Для нeвoccтaнaвливaeмoй ЭВМ, т. e. для случая, когда oтсyтcтвyeт ВУ, = 0, c2 = 0 и формулы (2.35)-(2.38) дают следующий результат:

Заметим, что первое слагаемое в правой части Г(1, 1) исключает из бес-

полезных потерь «доход», который можно ожидать от эксплуатации ЭВМ.

действительно, работоспособная ЭВМ функционирует до отказа в среднем

1/? единиц времени, следовательно, до отказа ЭВМ может принести доход в размере c1 /?'.

Формулы (2.35)-(2.39) характеризуют поведение ЭВМ и в переходном, и в стационарном режимах функционирования. Однако в стационарном режиме, т. e. при длительной эксплуатации ЭВМ (или математически при t -> ю), функция 6(t) (2.37) становится пренебрежимо малой, т. e. 6(t) ->0.

Кроме того, первое слагаемое (2.38) в правой части формулы (2.з5) стано-

вится пренебрежимо малым по сравнению co вторым, т. e. c yt. Таким oбpa-

зoм, математическое ожидание бесполезных эксплуатационных расходов за время t для стационарного режима работы ЭВМ не зависит от начального

состояния машины и имеет вид

Г(t) = yt,

где y вычиcляeтcя по (2.36), a в случае отсутствия восстанавливающего устройства y = c1 (см. формулу (2.39)).

Величину y назовем коэффициентом эксплуатационных потерь ЭВМ.

Очевидно, что y есть математическое ожидание потерь в единицу времени в стационарном режиме из-за отказов машины и простоя восстанавливающего

устройства. Следовательно, коэффициент y можно рассчитать без вывода

дифференциального уравнения (2.34), если известны вероятности состояний

ЭВМ.

B самом деле, пусть Ро вероятность того, что ЭВМ (в стационарном режиме) находится в состоянии отказа или, говоря иначе, вероятность того, что ВУ занято; Р вероятность того, что ЭВМ (в стационарном режиме) работоспособна или вероятность того, что ВУ простаивает. Тогда

'у =

=о

где c1 и c2 определяются по формулам (2.27) и (2.28). Подставив в послед-

нюю формулу Po =1— s, P = s и (2.26), получим известное выражение

(2.36) для коэффициента эксплуатационных потерь ЭВМ.

2. Архитектура электронных вычисл^'тельных машин

Задача минимизации функции Г(i, t), i Е Е (2.35) и, в частности, ко-

эффициента у (2.36) решается численными мЕ-тодами и c использованием экспериментальных результатов. Так, при с1 = const, ? = const эксперимен-

тaльно должны быть подобраны такие с 2 и µ, чтобы коэффициент y при-

нимал минимальное значение. Последнее может быть достигнуто, например, подбором состава средств обслуживания ЭВМ, т. e. средств контроля, диагностики и восстановления (или реконфигурирования).

2.9.4. Математическое ожидание дохода ЭВМ

Введем функцию D(i, t), i Е Е, значен: ля которой D(0, t) и D(1, t)

являются математическими ожиданиями дохода, приносимого при эксплуатации ЭВМ в течение времени t > 0, при усл^ ^виях, что машина в момент начала функционирования находилась в нерабо госпособном и работоспособном состояниях соответственно. Пусть dii доход, приносимый ЭВМ за

единицу времени при пребывании машины в сс ^стоянии i Е Е, д доход, приносимый ЭВМ при переходе из состояния i F состояние j, i ^ j; i, j Е Е.

Математическое ожидание дохода D(i, t), i Е Е,

тано классически, c помощью аппарата маркс вских процессов c доходами [8], и упрощенно [6], аналогично тому, как это : делано в разя. 2.9.3.

Способ 1. При использовании марковск их процессов c доходами отсчет времени будем вести в обратном направл ^нии, т. e. будем считать, что процесс начинается в момент (t + At), a оканчивается в момент t = 0. Тогда

ожидаемый доход ЭВМ за время (t + At) равен

D(i, t + At) = P1 (Аc)[dt1 Ot + D(i, t)] + P; (Ot)[d^ + D( j, t)], i^ j; i,jEEo.

(2.40)

B самом деле, в течение времени At, r. e. на промежутке времени (t + At, t], ЭВМ может либо остаться в состоянии i, либо перейти в состоя-

ние j = (1— i), i Е Е. Если ЭВМ остается в состоянии i Е Е в течение времени At, то доход составит величину d ;10t плюс ожидаемый доход D(i, t), который она принесет за оставшиеся t единиц времени. Если маши-

на перейдет из состояния i Е Е в состояние j =1— i, то доход составит величину 4 плюс ожидаемый доход D(j, t) за оставшееся время t, если бы начальным было состояние j.

98

2. Архитектура электронных вычислительных машин

Легко убедиться (путем пoдcтaнoвки), чз o решением системы уравнений (2.44) при заданных начальных условиях будет система

Формулы (2.45) в частном случае, кc rдa отсутствует BУ (µ = 0, c2 = 0), принимают следующий вид:

Формулы (2.45) и (2.46) характеризуют функционирование восстанавливаемых и нeвoccтaнaвливaeмыx ЭВМ в пepexoднoм режиме.

Исследуем поведение ЭВМ в стационарном режиме. Легко заметить, что при t -+ oo значение е1 -> 0, a первые слагаемые и для D(0, t), и для D(1, t) в (2.45) становятся пpeнeбpeжимo ;иaлыми по сравнению co втo-

pыми. Таким образом, математическое ожидание дохода, приносимого ЭВМ

за время t в стационарном режиме paбoть;:, не зависит от начального состояния машины и выражается функцией

D(t) = gt,

Величину g средний доход, приносимый в единицу времени при длительной работе ЭВМ, называют прибылью.

Если же ЭВМ невосстанавливаемая, то c вероятностью, равной единице, машина при длительной эксплуатации окажется в состоянии отказа. Действительно, вероятность отказа ЭВМ за время t равна q(t) =1- r(t) (см.

(2.10)), a 1im q(t) = 1. Значит, невосстанавли аемая ЭВМ в стационарном t-)co

режиме может приносить нулевую прибыль, g = 0 (см. (2.47)). Математиче-

ское ожидание дохода за длительное время эксплуатации невосстанавливаемой ЭВМ равно

что следует из (2.46). Или, рассуждая иначе: с1 -- стоимость одного часа полезно? работы ЭВМ, а Х-1 среднее время безотк iзной работы ЭВМ, значит, если

100