Задачи нелинейного программирования Квадратичное программирование

В квадратичном программировании рассматриваются методы оптимизации линейно-квадратичных функций на многогранных множествах.

Один из частных случаев нелинейного программирования.

Применяют, если целевая функция имеет такой вид:

Все ограничения g_iявляются линейными. В таком случае все ограничения сводятся к уравнению (*). В математическом смысле функция выпуклая.

Если есть какая -то добавка, т.е. не привести – то получается общая задача нелинейного программирования и решать её намного сложнее.

Время не позволяет рассмотреть задачи, но отметим, что основным способом является метод Фрэнка-Вульфа.

Градиентный подход в решении задач мп

Градиентный подходк решению задачи нелинейного программирования.

Суть метода: выбирается начальная точка x₀

Потом считается число r(следующая точка) и далее точка считается за начальную, ищется следующая.

Градиент

Двигаемся, направление градиента изменяется. Добираемся до границы и движемся по границе до точки экстремума.

1. Либо большое число мелких шагов, либо низкая точность.(главная проблема – выбор шага)

2. Сложно попасть не на локальную линию.

Существует несколько разновидностей градиентного подхода.

Один из вариантов – «метод наибыстрейшего подъема».

Вообще градиентный метод надо рассказывать 2-3 лекции.

Приращение maxrвыбирается таким, чтобы мы по данному направлению достигли бы наибольшего значения целевой функции.

• Метод возможных направлений (выбираются возможные направления, путем перебора выбираются наилучшие, градиент считать не нужно).

• Метод проекции градиента (вычисляется градиент, потом проецируется на плоскости, выбираются направления)

• Последовательной минимизации

• Метод переменной метрики

• обобщенный метод Ньютона

Методы функций штрафов и барьеров

Другая группа методов – метод штрафных функций и барьеров.

Здесь допускается выход за пределы ограничений. Чем дальше отступаем, тем больше функция штрафа

,– функция штрафа.

= 0 внутри допустимой области. Вне области она возрастает, чем дальше отходим от границ. Еслиmin , то>0. Чем дальше переехали границу, тембольше. Сильно уменьшается сложность новой задачи. В штраф вводят параметр(), который тоже изменяют.

Метод барьеров– несколько иначе. За ограничения не выходим. Штрафную функцию добавляют внутри, при приближении к границе.

Идея метода барьеровво многом похожа. Но функция отличная от нуля только внутри области, а при приближении к границе возрастает до бесконечности. Решают задачу без ограничений (ограничения заменяют добавкой), таким образом, вычислительная сложность оказывается значительно меньше.