УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

Извидапоследнеговыраженияможнозаключить, чтоминимум f y 2

n

Значит, наилучшим приближением для функции f(x) будет y fk k (x) ,

k 0

n

при этом f y 2 f 2 fk2 .

k 0

Из решения следует, что наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Задача по его отысканию сводится к задаче вычисления интегралов для определения коэффициентов

a

В качестве аппроксимирующей системы функций часто используется ортогональная система многочленов Лежандра, заданная на интервале 1,1 :

Пусть на интервале [–1, 1] задана функция f(x). Приблизим эту функцию линейной комбинацией из полиномов Лежандра

111

8. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

8.1. Общие сведения

Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x), для которойизвестнапервообразная F(x), может бытьвычислен по формуле Ньютона – Лейбница

b f (x)dx F(b) F(a),

a

где F (x) f (x).

Если не удается найти первообразную подынтегральной функции или она имеет сложный и неудобный вид, применяют методы численного интегрирования. В случае, когда подынтегральная функция f(x) задается таблично, аналитические методы просто неприменимы. Задачи численного интегрирования встречаются в вычислительной математике, например, при решении дифференциальных уравнений, определении площадей, объемов, а также всевозможных интегральных характеристик задач естествознания.

Общая задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определенного интеграла

численными методами.

Такого рода задачи возникают, если не удается найти первообразную подынтегральной функции или она имеет сложный и неудобный вид. В случае, когда подынтегральная функция f (x) задается таблично, аналити-

ческие методы просто неприменимы. Задачи численного интегрирования встречаются в вычислительной математике, например, при решении дифференциальных уравнений, определении площадей, объемов, а также всевозможных интегральных характеристик задач естествознания.

Наша цель– получить формулы длявычисленияопределенных интегралов и сравнить эти формулы по точности.

Методы численного интегрирования основаны на замене подынтегральной функции f (x) более простой интерполирующей или аппроксими-

рующей функцией (прямой, параболой, полиномом), интеграл от которой можно вычислить аналитически. В результате получаются формулы интегрирования, называемые квадратурными.

Зададим на отрезке [a,b] множество ω точек xi , i = 1, …, N, называемое

сеткой: {xi ;a x0 x1 ... xN b}.

Как известно, формула для вычисления интегралов численными методами (см. разд. 1, пример 1) может быть представлена в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функции в отдельных точках:

113

N

I N f ci f (xi ) .

i 0

Это общая квадратурная формула, в которой xi – узлы разбиения интервала интегрирования, ci – некоторые весовые коэффициенты (веса), которые в общем случае могут зависеть от значений xi и не зависят от вида функции f (x) .

Задача численного интегрирования состоит в определении значений xi

ai

Каждый интеграл вида f (x)dx сводится к вычислению интеграла

Таким образом, достаточно получить формулу для вычисления ин-

теграла 1 f (s)ds , которую затем нетрудно использовать при определении

0

F(a,b) b f (x)dx.

a

Предположим, что на интервале [a, b] задана равномерная сетка, т.е. xi xi 1 h, (h const) , тогда

114

8.2. Построение квадратурных формул

Будем искать квадратурную формулу в виде

точками sk называется шаблоном квадратурной формулы.

Чтобы построить квадратурную формулу, необходимо определить весовые коэффициенты (веса) Pk и узлы шаблона sk таким образом, чтобы

ошибка численного интегрирования была минимальной.

Допустим, что задан некоторый шаблон sk . Найдем Pk . Потребуем, чтобы формула интегрирования была точной для любого полинома Pr s

степени r m (где ( m 1 ) – количество точек шаблона). Для этого необходимо и достаточно, чтобы квадратурная формула была точной для

Из формулы (58) следует, что формула интегрирования будет точной при значениях весов Pk , удовлетворяющих следующей системе уравнений:

Эта система является системой линейных алгебраических уравнений с определителем матрицы коэффициентов, называемым определителем Вандермонда.

Как известно, определитель Вандермонда никогда не равен нулю, и полученная система линейных уравнений всегда имеет единственное решение.

115

8.2.1. Формула прямоугольников

Если при вычислении интеграла b f (x)dx функцию f (x) заменить на

a

отрезке [a,b] горизонтальной прямой (рис. 28), то получим квадратурную формулу прямоугольников.

8.2.2. Формула трапеций

интерполяционным полиномом первой степени (линейная интерполяция), который в узлах x0 a и x1 b принимает соответственно значения f (a)

и f (b) (рис. 29), то получим квадратурную формулу трапеций.

116

Найдем I Pm :

Метод Ньютона – Котеса является обобщением рассмотренных нами методов численного интегрирования. Весовые коэффициенты не зависят от функции, зависят от количества точек шаблона. Выпишем их значения:

m 1, P0 P1 12 – метод трапеций;

119

Метод Ньютона – Котеса соответственно для четырех-, пяти- и шеститочечного шаблона:

Наиболее употребляемой среди квадратурных формул Ньютона – Котеса является формула Симпсона, поскольку она точна для полиномов не только второй, но и третьей степени.

8.2.5. Квадратурная формула Чебышева

Во всех предыдущих методах интервал интегрирования делился на равные участки, а весовые коэффициенты (в общем случае) были различны. Для некоторых задач хорошей точности метода численного интегрирования можно добиться исходя из оптимального выбора узлов интегрирования. Предположим, что все коэффициенты Pi квадратурной формулы равны

одной и той же константе Pi m1 , то есть

I f 1 m f (si ) . m i 1

Как и при построении предыдущих квадратурных формул, потребуем точности формулы интегрирования для одночленов 1, s, s2 , s3 , ..., s N .

Получим систему уравнений для определения si:

Решаяэтусистемунелинейныхалгебраическихуравнений, можнополучить значения неизвестных si узлов разбиения интервала интегрирования.

Например, при m = 3 формула Чебышева имеет вид:

120