16. Система уравнений по методу контурных токов.

; .

Получив - контурные токи, остальные токи можно найти:.

Остановимся поподробнее на тройном матричном произведении - матрице контурных сопротивлений. Она обладает следующими особенностями:

1. Матрица симметрична относительно диагонали.

2. Диагональные члены матрицы представляют собой сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в к-й контур. Направление обхода контура выбирается совпадающим с направлением тока хорды, соответствующей этому контуру:.

3. Недиагональные члены матрицы - это сопротивления общие для к-го и m-го контуров

.

Знак “+” ставится в том случае, когда направления обхода контуров к и m в общей ветви совпадают. Если направления встречны, то ставится знак ”-”.

В развернутом виде матричное уравнение, по методу контурных токов, можно записать для схемы с n независимыми контурами.

Это соответствует системе контурных уравнений:

,

,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

.

Элементы матрицы представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников ветвей. Со знаком “+” в суммы входят те ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Остальные входят со знаком “-”.

Систему уравнений можно получить и непосредственно из второго закона Кирхгофа, если ввести понятие контурного тока, как неизвестного тока, замыкающегося по контуру. Поскольку в ветви, которая отличается от всех других, в системе независимых контуров протекает только контурный ток, то понятие контурный ток и ток хорды совпадают. Во всех других ветвях (ветвях дерева) протекают два и более контурных токов. В этих терминах и формулируется второй закон Кирхгофа. Например, для первого контура: первое слагаемое это сумма напряжений во всех ветвях контура от протекания контурного тока. Остальные слагаемые - это напряжения в соответствующих ветвях от действия остальных контурных токов. Если  m-й и к-й контур общей ветви не имеют, то .

Получив контурные токи

, из уравнения - легко получить остальные токи.

17. Уравнения по методу сечений для обобщенной модели двухполюсника.

При введении обобщенной модели ветви, содержащей и источник ЭДС и источник тока, можно получить систему уравнений без каких-либо ограничений.

Покажем это на примере применения метода сечений.

Обобщенная ветвь показана на рис. 5-2.

Рис. 5-2

Выражение, связывающее ток ветви с параметрами обобщенной ветви, можно получить, обойдя контур :,- напряжение ветви.

Получим ток ветви: .

Такое же начертание формулы остается, если считать

 - матрица-столбец токов ветвей,

 - матрица-столбец напряжений ветвей,

 - матрица-столбец ЭДС ветвей,

 - матрица-столбец токов источников тока “ветвей”,

 - матрица параметров ветвей.

Конечно, при этом надо записать уравнение так, чтобы согласовать число столбцов и строк в матричных произведениях: .

Умножим это уравнение (матричное) на топологическую матрицу сечение-ветвь С слева и помня, что получим,

подставим соотношение , где- матрица-столбец напряжений ветвей дерева получимили уравнение аналогичное уравнению по методу узловых потенциалов:.

Решив уравнение относительно :, по формуле:найдем напряжение всех ветвей.

Наконец, используя уравнение для обобщенной ветви, получим токи: .

При работе с массивами информации в системах машинного проектирования электронных схем достигают еще большего обобщения, вводя в модели ветви зависимые источники, это характерно для моделей транзисторов.

В учебном пособии вряд ли есть необходимость излагать эти методы, т.к. пользователь получает их вместе с соответствующими машинными программами. Если у читателя возникает необходимость в разработке или модернизации подобных программ, то придется обратиться к специальной литературе.

При наличии ветвей, состоящих только из идеальных источников тока или ЭДС, в формальных методах построения уравнений приходится прибегать к специальным приемам расщепления ветви или узла. При составлении уравнений вручную можно поступать так, как показано на примерах.