3. Основные понятия аксиоматической теории. Аксиомы, пастулаты, теоремы.

Аксиоматическая теория — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

В множестве формул выделяется подмножество аксиом, и задается конечное число правил вывода — таких правил, с помощью которых (и только с помощью их) из аксиом и ранее выведенных теорем можно образовать новые теоремы. Все аксиомы также входят в число теорем. Таким способом задается формальная теория (формальная аксиоматическая теория, формальное (логическое) исчисление).

Формальная теория считается определенной, если:

• Задано конечное или счётное множество произвольных символов.

• Имеется подмножество выражений, называемых формулами.

• Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.

• Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Чаще всего имеется возможность эффективно выяснять, является ли данная формула аксиомой; в таком случае теория называется эффективно аксиоматизированной или аксиоматической.

Множество аксиом может быть конечным или бесконечным. Если число аксиом конечно, то теория называется конечно аксиоматизируемой. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом.

Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории).

Для каждого правила вывода R и для каждой формулы A эффективно решается вопрос о том, находится ли выбранный набор формул в отношении R с формулой A, и если да, то A называется непосредственным следствием данных формул по правилу R.

Вывод - всякая последовательность формул такая, что всякая формула последовательности есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода.

Формула называется теоремой, если существует вывод, в котором эта формула является последней.

Теория, для которой существует эффективный алгоритм, позволяющий узнавать по данной формуле, существует ли её вывод, называется разрешимой; в противном случае теория называется неразрешимой.

Теория, в которой не все формулы являются теоремами, называется абсолютно непротиворечивой.

Аксио́ма или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами

Теоре́ма — утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.

4. Аксиоматический метод, его сущность. Примеры применения аксиоматического метода в языкознании.

Аксиоматический метод — это такой способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними.

В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией.

Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов.