23. Разбиение множества на классы. Классификация.

Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний.

Выясним условия, которым должны удовлетворять правильно выполненная классификация.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2,…,Хп, если:

• подмножества Х1, Х2,…,Хп попарно не пересекаются;

• объединение подмножеств Х1, Х2,…,Хп совпадает с множеством Х.

• все подмножества X1, X2,..., Хn не являются пустыми

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают не правильной.

Так, множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных – тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х.

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Таким образом, задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3 и класс чисел, не кратных 3.

Справедливы следующие правила нахождения количества элементов в множествах:

• если множества не пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из них:

n(А  В)=n(А)+n(В)

• если множества пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из них без количества элементов их пересечения:

n(А  В)=n(А)+n(В)–n(А  В)

• если множество А является подмножеством В, то количество элементов в дополнении множества А до множества В равно разности количества элементов множества В и количества элементов множества А:

n( А / В )=n(А)–n(В)