4. Способы выражения и нормирования пределов допускаемых погрешностей.

Погрешности могут выражаться в виде:

- абсолютном; - относительном; - приведённом;

- числа делений шкалы.

Абсолютная погрешность - это разница между истинным и полученным значением измеряемой величины:

Предел допускаемой абс. погрешности выражается:

1) одним значением:

2) двучленной формулой

Нормирование (установление предела абс. погрешности) по пункту а) производится, если мультипликативная составляющая погрешности отсутствует или отдельно не учитывается. По пункту б) - если учитывается отдельно мультипликативная составляющая.

Недостаток абс. погрешности - невозможность сравнения СИ разного назначения.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

Предел относительной погрешности выражается:

а)

б) , гдеи- константы,конечное значение диапазона измерений,- результат измерений.иберутся без учёта знака.

Нормирование - так же как с абсолютной.

Недостаток: при .

Приведённая погрешность - это отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению. Применяется только если мультипликативная погрешность отсутствует или отдельно не учитывается.

В качестве нормирующего значения берут:

а) верхний предел диапазона измерений, если нижний предел равен нулю либо ноль находится вне диапазона;

б) сумму модулей верхнего и нижнего пределов, если нуль находится внутри диапазона.

Класс точности - обобщённая метрологическая характеристика СИ, определяющая допускаемые пределы основных и дополнительных погрешностей, а также другие св-ва этого средства, влияющие на точность результатов измерений. Для обозначения классов точности применяются следующие числа:

Для СИ, у которых погрешность нормируют в виде предела приведённой погрешности, класс точности численно равен этому пределу. Абс. и отн. погрешности в таком случае оцениваются по формулам:

Правила округления погрешности:

а) не более 2-х значащих цифр;

б) результат округляют "по погрешности", т. е. последний разряд результата должен соответствовать последней цифре погрешности.

Если предел допускаемой погрешности определяется по двучленной формуле, то в обозначении класса точности вводятся числа и,:

Напр.: 0.05/0.02

5. Погрешности измерений и обработка результатов измерений. Вероятностные оценки ряда наблюдений.

Погрешности измерений делятся на систематические (методические, инструментальные, погрешность установки приборов) и случайные (обнаруживаются при многократных измерениях, проводимых с одинаковой тщательностью и при одних и тех же условиях).

Результат измерения всегда содержит как систематическую, так и случайную погрешность:

, где первый член - это систематич. погрешность (мат. ожидание), а второй - случайная погрешность. Поэтому погрешность измеряемой величины в общем случае рассматривается как случайная величина.

Полным описанием случайной величины, а, следовательно, и случайной погрешности, является закон распределения. Наиболее часто встречающийся - нормальный закон распределения (Гаусса) , основанный на 2-х аксиомах:

1. При большом числе измерений погрешности, одинаковые по величине и разные по знаку, встречаются одинаково часто.

2. Малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

плотность распределения.

Основными характеристиками закона распределения являются мат. ожидание и дисперсия.

Мат. ожидание ряда измерений есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных измерений. Если систематич. погрешность отсутствует и разброс обусловлен только случайной погрешностью, то мат. ожиданием будет истинное значение случайной величины.

Дисперсия ряда наблюдений характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг мат. ожидания.

Т. к. дисперсия измеряется в квадратных единицах, то в качестве х-ки измерений применяют СКО

Обработка результатов измерений

Обычно МО и СКО неизвестны и их оценивают по результатам полученного ряда наблюдений.

Оценкой МО является среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений: .

Разница между каждым отдельным значение и ср. арифметическим называется случайным отклонением или остаточной погрешностью:

При неограниченно большом числе измерений среднее арифметическое стремится к мат. ожиданию:

Оценка дисперсии:

При неограниченно большом числе измерений (реально при ):

Т. о. можно принять за действительное значение, а МО - за истинное. Оценить близость действительного значения к истинному можно с помощьюдоверительного интервала.

Это интервал погрешностей, в котором погрешность находится с заданной вероятностью, которая называется доверительной. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен закон распределения погрешности с основными его характеристикам, и выбирается в зависимости от конкретных условий измерений. При нормальном законе распределения пользуются обычно доверительным интервалом . Это означает, что из 370 погрешностей только 1 по абсолютной величине м. б. больше

Среднее арифметическое является случайной величиной.

Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии ряда наблюдений, из которого оно получено:

. Если дисперсия неизвестна (мало число опытов), то её оценивают по остаточным погрешностям:.

Для нахождения доверительного интервала необходимо найти закон распределения величины =при известной дисперсии () или=при неизвестной дисперсии.

Для нормального закона Z есть случайная величина с и, а- случайная величина, распределённая по закона Стьюдента. Чем больше число измерений, тем ближесовпадает си закон Стьюдента приближается к нормальному.

Зная Z или t, результат измерения с определённой доверительной вероятностью может быть записан как

при известной дисперсии;

при неизвестной дисперсии.

Увеличение числа опытов уменьшает доверит. интервал.