- •Теоретические сведения к заданию 1
- •Начальные условия. Законы коммутации
- •Общая методика расчета переходных процессов классическим методом
- •Примеры расчета переходных процессов классическим методом
- •1. Переходные процессы в r-l-цепи при ее подключении к источникунапряжения
- •2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности от источника питания
- •3. Заряд и разряд конденсатора
- •Энергии и произвольным числом резисторов
- •Переходные процессы при подключении последовательной
- •В этом случае
- •Некоторые свойства изображений
- •Изображения производной и интеграла
- •Закон Ома в операторной форме
- •Для мгновенных значений переменных можно записать:
- •Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю:
- •Переход от изображений к оригиналам
- •Например, для изображения тока в цепи на рис. 1.61 можно записать:
- •Последовательность расчета переходных процессов операторным методом
- •Формулы включения
- •В результате
- •Сведение расчета переходного процесса к расчету с нулевыми начальными условиями
- •Метод переменных состояния
- •Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения
- •Решение
- •Решение
- •Решение
Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения
Первый этап данной методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов источниками напряжения, а всех катушек индуктивности – источниками тока. В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой помимо заданных источников действуют также вновь введенные источники.
На втором этапе с использованием метода наложения определяются выражения производных переменных состояния, а также искомых величин через напряжения и токи всех источников.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Первому уровню сложности соответствуют примеры 1.1, 1.2 и 1.3, а второму - 1.4.
Пример 1.1
В цепи на рис. 1.65,,,.
Определить зависимости ,ипосле замыкания ключа.
Решение
1. Ищем решение дляв виде
.
2. Принужденная составляющая напряжения
.
3. Выражение входного сопротивления цепи относительно места разрыва ветви с индуктивным элементом запишем следующим образом:
,
откуда характеристическое уравнение имеет вид
или после подстановки численных значений параметров
.
Корни уравнения
,
чему соответствует выражение свободной составляющей
Таким образом,
4. Уравнения для нахождения постоянных интегрирования имеют вид
; (1.27)
. (1.28)
Расчет начальных условий начнем с определения ипо схеме на рис. 1.66,а, из которой имеем
;
.
Для расчета и воспользуемся схемой на рис. 1.66,б, где катушка индуктивности заменена источником тока , а конденсатор источником напряжения . Для данной схемы справедлива система уравнений
;
;
;
;
;
,
решая которую относительно и, получаем:,. Из последнего вытекает:
;
.
Решив с использованием рассчитанных начальных условий уравнения (1.27), (1.28), получим: ,.
Таким образом,
5. Решение для тока в ветви с индуктивным элементом ищем в виде
,
где
.
6. Выражение свободной составляющей запишем в виде
.
Таким образом,
.
7. Постоянные интегрирования находим из уравнений
А;
А/С,
решая которые, получаем: ,.
Следовательно,
8. Для определения тока составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура:
.
Решая его относительно , получаем
Пример 1.2
Решить предыдущую задачу операторным методом.
Решение
Всоответствии с определенными в примере 1.1 начальными значениями тока в ветви с индуктивным элементоми напряжения на конденсаторерасчетная операторная схема замещения приведена на рис. 1.67.
Для данной схемы справедлива следующая система операторных уравнений, записанных по методу контурных токов:
;
;
или после подстановки численных значений входящих в них параметров:
;
;
.
Решением этой системы являются:
;
;
,
откуда изображения искомых переменных
;
;
.
Используя формулу разложения (1.22), для которой корни характеристического уравнения и, записываем выражения оригиналов:
;
;
.
Как видно, полученные зависимости совпадают с результатом решения задачи классическим методом.
Пример 1.3
В цепи на рис. 1.65 действует источник синусоидально изменяющейся ЭДС .
Записать для данной схемы уравнения состояния и для численных значений примера 1.1 определить матрицыА, В, С, D и вектор Х(0).