Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения

Первый этап данной методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов источниками напряжения, а всех катушек индуктивности – источниками тока. В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой помимо заданных источников действуют также вновь введенные источники.

На втором этапе с использованием метода наложения определяются выражения производных переменных состояния, а также искомых величин через напряжения и токи всех источников.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Первому уровню сложности соответствуют примеры 1.1, 1.2 и 1.3, а второму - 1.4.

Пример 1.1

В цепи на рис. 1.65,,,.

Определить зависимости ,ипосле замыкания ключа.

Решение

1. Ищем решение дляв виде

.

2. Принужденная составляющая напряжения

.

3. Выражение входного сопротивления цепи относительно места разрыва ветви с индуктивным элементом запишем следующим образом:

,

откуда характеристическое уравнение имеет вид

или после подстановки численных значений параметров 

.

Корни уравнения

,

чему соответствует выражение свободной составляющей

Таким образом,

4. Уравнения для нахождения постоянных интегрирования имеют вид

; (1.27)

. (1.28)

Расчет начальных условий начнем с определения ипо схеме на рис. 1.66,а, из которой имеем

;

.

Для расчета и воспользуемся схемой на рис. 1.66,б, где катушка индуктивности заменена источником тока , а конденсатор источником напряжения . Для данной схемы справедлива система уравнений

;

;

;

;

;

,

решая которую относительно и, получаем:,. Из последнего вытекает:

;

.

Решив с использованием рассчитанных начальных условий уравнения (1.27), (1.28), получим: ,.

Таким образом,

5. Решение для тока в ветви с индуктивным элементом ищем в виде

,

где

.

6. Выражение свободной составляющей запишем в виде

.

Таким образом,

.

7. Постоянные интегрирования находим из уравнений

А;

А/С,

решая которые, получаем: ,.

Следовательно,

8. Для определения тока составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура:

.

Решая его относительно , получаем

Пример 1.2

Решить предыдущую задачу операторным методом.

Решение

1. Всоответствии с определенными в примере 1.1 начальными значениями тока в ветви с индуктивным элементоми напряжения на конденсаторерасчетная операторная схема замещения приведена на рис. 1.67.

2. Для данной схемы справедлива следующая система операторных уравнений, записанных по методу контурных токов:

;

;

 или после подстановки численных значений входящих в них параметров:

;

;

.

Решением этой системы являются:

;

;

,

откуда изображения искомых переменных

;

;

.

Используя формулу разложения (1.22), для которой корни характеристического уравнения и, записываем выражения оригиналов:

;

;

.

Как видно, полученные зависимости совпадают с результатом решения задачи классическим методом.

Пример 1.3

В цепи на рис. 1.65 действует источник синусоидально изменяющейся ЭДС .

Записать для данной схемы уравнения состояния и для численных значений примера 1.1 определить матрицыА, В, С, D и вектор Х(0).