ипр 2-1 (15 вариант) / ипр2-1
.pdfЗадача 6
Вычислите
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x |
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dx . |
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4 x4 |
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0 |
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Решение. |
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x |
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dx |
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4 x4 |
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0 |
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1 lim arctg
4 A
несобственный интеграл первого рода (если он сходиться)
lim |
A |
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x |
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dx |
1 |
lim |
A |
dx2 |
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1 |
lim [ |
1 |
arctg |
x |
]A |
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4 x4 |
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4 x4 |
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A |
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2 A |
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2 A |
2 |
2 |
0 |
||||||||||
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0 |
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0 |
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A |
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1 |
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2 |
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4 |
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2 |
8 |
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Задача 9
Найдите общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравне-
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xy |
x2 |
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ния первого порядка (tgxy |
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)dx |
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dy 0 . |
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cos2 xy |
cos2 xy |
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Решение. |
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xy |
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x2 |
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tgxydx |
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dx |
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dy 0 |
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cos2 xy |
cos2 xy |
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y |
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x |
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tgxydx x( |
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dx |
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dy) 0 |
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cos2 xy |
cos2 xy |
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tgxydx xdtgxy 0 |
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tgxydx xdtgxy |
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dx |
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dtgxy |
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x |
tgxy |
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dx |
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dtgxy |
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x |
tgxy |
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ln x ln tgxy ln C,C const |
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ln x ln |
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C |
,C const |
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tgxy |
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x |
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C |
,C const xtgxy C,C const |
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tgxy |
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Ответ: xtgxy C,C const .
3
Задача 10
Найдите общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравне-
ния первого порядка |
( |
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y |
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2 |
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)dx (arctgx |
2 |
)dy 0 . |
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x2 |
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xy2 |
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1 |
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x2 y |
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Решение. |
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y |
dx |
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2 |
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dx arctgxdy |
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2 |
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dy 0 |
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1 x2 |
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xy2 |
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x2 y |
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dyarctgx 2d |
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1 |
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0 |
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|||||||
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xy |
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dyarctgx 2 d |
1 |
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xy |
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yarctgx |
2 |
C,C const |
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xy |
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yarctgx |
2 C,C cons |
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Ответ: |
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xy |
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4
Задача 11
Найдите общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравне-
y
ния первого порядка xy ' y xe x
Решение.
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y |
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y |
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y ' |
e x |
|||
x |
||||
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Решим для начала
dydx xy
dyy dxx
dyy dxx y Cx
Предполагаем, что C C(x) . y ' C ' x C
C'x C C eC
x dCdx eC
e C dC dxx e C lnx lnC1
e C lnC1x
C ln lnC1x,C1 const y xlnlnC1x,C1 const
Ответ: y xlnlnC1x,C1 const
5
Задача 12
Найдите общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравне-
ния первого порядка xy ' x2 y
Решение.
Произведем подстановку y xt(x) , y ' t xt'
Подставляет в первоначальное уравнение:
xt x2t ' x2 xt xt ' x 2t
t ' 1 2xt
Решим для начала уравнение
t ' 2xt
dxdt 2xt
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dt |
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2dx |
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t |
x |
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ln t 2ln x ln C |
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|||||||||||||||
t |
|
C |
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|||||
|
x2 |
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|||||||
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Представим, что C C(x) , тогда получим t ' |
C ' x2 |
2xC |
. |
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x4 |
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Подставим в уравнение t ' 1 |
2t |
. |
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x |
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C ' x2 2xC |
1 |
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2C |
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||||||||||
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x4 |
|
x3 |
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C ' |
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1 C ' x2 |
C x2dx |
x3 |
C ',C ' const |
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2 |
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x |
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3 |
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||||||
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x3 |
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C ' |
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Получаем t |
3 |
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x |
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C ' |
,C ' const |
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x2 |
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3 |
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x2 |
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Произведем обратную замену y xt(x) .
6
y xt(x) x2 C ' ,C ' const
3 x
Ответ: y x2 C ' ,C ' const
3 x
7
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Задача 13 |
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Решите задачу Коши yy '' 2x(y')2 0, y(2) 2, y '(2) |
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2 |
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Решение. Проведем замену |
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y ' yu, y '' y 'u yu ' y(u2 u ') |
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yy(u2 u ') 2xy2u2 0, |
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u2 u ' 2xu2 0 |
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du |
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u2 (2x 1), |
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dx |
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du |
(2x 1)dx |
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u2 |
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1 |
x2 |
x C |
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|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|||||
u |
|
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|
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1 |
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|
,C1 const |
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
x2 |
x C |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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y ' |
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|
|
y |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||||||||||||
|
x2 |
|
x C |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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||
|
y '(2) |
|
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|
2 |
|
|
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|
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|
|
1 |
C 2 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
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4 2 C1 |
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2 |
|
1 |
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
y ' |
|
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|
|
y |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
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||||||||||||||
|
x2 x 2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
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|
|
x |
2 |
|
x 2 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
y |
x2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
y |
9 |
|
(x |
1 |
) |
2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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4 |
|
2 |
|
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||||||||||||||||
|
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|||||||
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|
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|
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|
3 |
|
x |
1 |
|
|
|
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|||||||||||||
ln y |
|
1 |
|
|
|
|
ln |
2 |
2 |
ln C |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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3 |
3 |
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1 |
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||||||||||
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2 |
|
x |
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||||||||||||||||||||||||
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2 |
2 |
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2 |
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y C |
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3 |
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1 x |
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,C |
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const |
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2 |
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2 |
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2 |
x |
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Найдем решение для начальных условий
8
y(2) 2
2 C 1 2
2 2 2
Получили деление на 0. Значит, у заданного начального условия нет реше-
ний.
9
Задача 14
Найдите уравнение кривой, проходящей через точку M0 (12,2) , если в любой
ее точке М касательный вектор MN (с концом N на оси ординат) имеет дли-
ну, равную 20, и образует острый угол с положительным направлением оси ординат.
Решение.
Точка N имеет координаты N (0; y xy ') . Длина вектора
MN x2 x2 ( y ')2
Составим уравнение
x2 x2 ( y ')2 20 x2 x2 ( y ')2 400
Произведем замену y ' p .
x2 x2 p2 |
400 |
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x2 p2 400 x2 |
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p |
400 |
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1 |
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x2 |
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y ' p |
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400 |
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1 |
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|||||||
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x2 |
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y |
400 |
1dx |
10 |
400 |
1 |
1 |
ln |
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20 |
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400 |
1 |
C |
||||||||||||||
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||||||||||||||||
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x2 |
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x |
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x2 |
2 |
x |
x2 |
Подставим точку M0 (12,2)
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2 |
10 |
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400 |
|
1 |
1 |
|
ln |
20 |
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400 |
|
1 |
C C |
8 |
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1 |
ln 3 |
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12 |
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144 |
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2 |
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12 |
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144 |
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9 |
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2 |
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|||||||
y |
10 |
|
400 |
1 |
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1 |
ln |
20 |
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400 |
1 |
|
8 |
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1 |
ln 3 |
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x2 |
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x2 |
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|
x |
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2 |
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|
x |
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9 |
2 |
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Ответ: |
y |
10 |
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400 |
1 |
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1 |
ln |
20 |
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400 |
|
1 |
|
8 |
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1 |
ln 3 |
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x2 |
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|
x2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
2 |
|
x |
|
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9 |
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|
2 |
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10
Задача 15
Найдите частное решение линейного однородного дифференциального урав-
нения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
y ''' 2 y '' 2 y ' 40 y 0, y '(0) 3, y(0) |
3, y''(0) 1 |
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Решение. |
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Решим однородное уравнение: |
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y ''' 2 y '' 2 y ' 40 y 0 |
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|||||||||||||||||||||
3 2 2 2 40 0 |
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( 4)( 1 3i)( 1 3i) 0 |
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||||||||||||||||||||||||||
1 1 3i, 2 1 3i, 3 4 |
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|||||||||||||||||||||
y C e4 x |
ex (C |
2 |
cos3x C sin 3x);C ,C |
|
,C const |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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3 |
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1 |
|
2 |
|
3 |
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|||||
Найдем частное решение |
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y C e4 x |
ex (C |
2 |
cos3x C sin 3x);C ,C |
2 |
,C const |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
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3 |
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|
1 |
|
|
|
3 |
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|||||
y(0) C1 |
C2 3 |
|
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y ' 4C e4 x ex (C |
2 |
cos3x C sin 3x) ex ( 3C |
2 |
sin 3x 3C cos3x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
|
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3 |
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3 |
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|||
4C e4 x ex ((C |
2 |
|
3C )cos3x (C 3C |
)sin 3x) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
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|
3 |
|
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3 |
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|
2 |
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|
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||
y'(0) 4C1 C2 3C3 |
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3 |
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|
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|||||||||||||||||||
y '' 16C e4 x |
ex ((C |
2 |
3C )cos3x (C 3C |
)sin 3x) ex ( 3(C 3C )sin 3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
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|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
||||
3(C 3C |
|
|
)cos3x) 16C e4 x ex (( 8C |
2 |
|
6C |
3 |
)cos3x ( 6C |
2 |
8C )sin 3x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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3 |
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||||||||
y ''(0) 16C1 |
8C2 6C3 1 |
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||
Решим систему уравнение |
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|
|
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17 |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
C2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C1 |
C2 3, |
|
|
|
|
|
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|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
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|
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167 |
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
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|||||||
4C1 C2 3C3 3 |
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
16C 8C |
|
|
|
6C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||
|
|
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|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
|
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|
|
|
|
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||||
y |
73 |
e4 x ex ( |
17 |
cos3x |
167 |
sin 3x) |
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
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|
y |
73 |
e4 x |
ex ( |
17 |
cos3x |
167 |
sin 3x) |
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||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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|
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11