
ИПР3-2(15 вариант)
.docxИндивидуальная практическая работа ИПР3-2
Вариант 15
Задача 1. Постройте на комплексной
плоскости область
,
заданную системой неравенств. Проверьте,
принадлежит ли заданная точка
области
.
Решение.
Неравенство
соответствует внешней части круга
радиусом
с центром в точке
,
включая ограничивающую его окружность.
Неравенство
соответствует внутренней части круга
радиусом
с центром в точке
,
включая ограничивающую его окружность.
Неравенство
соответствует сектору окружности. На
рисунке представлена область
.
Точка
не принадлежит области
.
Проверим это аналитически:
- неравенство выполнено.
-
неравенство не выполнено.
- неравенство не выполнено.
Значит, точка
не принадлежит области
.
Задача 2. Определите область (круг)
сходимости данного комплексного ряда.
Исследуйте его сходимость (сходится
абсолютно, сходится условно, расходится)
в точках
,
,
.
;
,
,
.
Решение.
Применим признак Даламбера:
,
.
Отсюда,
следовательно, ряд сходится при условии
или внутри круга
радиусом
с центром в точке
.
На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.
Точка
расположена на границе круга сходимости,
т.к.
.
Для исследования сходимости заданного
ряда в этой точке подставим её в ряд:
.
.
Таким
образом, исходный ряд сходится абсолютно
в точке
при
.
Точка
расположена внутри круга сходимости,
т.к.
,
поэтому ряд в ней сходится абсолютно.
Точка
расположена
вне круга сходимости, т.к.
,
поэтому ряд в ней расходится.
Задача
3. Проверьте, является и функция
аналитической в области
.
Вычислите интеграл от этой функции по
указанной кривой
.
;
;
– ломаная
:
,
,
.
Решение.
Для
проверки того, является ли функция
аналитической, воспользуемся условиями
Коши-Римана. Для этого с помощью формулы
представим заданную функцию в виде
.
С учетом
имеем
откуда получаем
,
.
Найдем частные производные
,
,
,
.
Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:
,
.
Так как условия Коши-Римана выполняются
для любых
и
,
то функция
является аналитической на всей комплексной
плоскости, включая и область
.
Теперь вычислим интеграл от заданной функции.
– ломаная
:
,
,
.
Заданная
кривая
представляет собой ломаную
:
,
,
.
В данном случае воспользуемся формулой
.
На
отрезке
:
.
На
отрезке
:
.
На
отрезке
:
.
Вычислим интеграл
Задача
4. Функция
разложена в ряд Лорана в окрестности
своей изолированной особой точки
,
где
.
А)
Определите тип особой точки
и найдите в ней вычет функции
.
Б)
Вычислите с помощью вычетов интеграл
,
если
.
,
;
.
Решение.
Т.к. функция
в окрестности изолированной точки
содержит бесконечное число слагаемых
в главной части, то точка
является существенно особой точкой.
Вычетом функции
в точке
называется коэффициент
разложения этой функции в ряд Лорана
по степеням
,
в данном случае
,
значит,
.
Рассмотрим интеграл
.
Внутри контура интегрирования
расположена только одна особая точка
подынтегральной функции, которая
согласно ряду Лорана является существенно
особой точкой. Вычет в этой точке равен
,
значит,
.
Задача 5. Найдите все лорановские
разложения функции
по степеням
.
,
.
Решение.
Функция
не является аналитической, т.к. имеем
изолированную особую точку
.
Исключим ее из рассмотрения, разбив
комплексную плоскость на две области
и
окружностью с центром в точке
радиусом, равным расстоянию от
до особой точки:
.
Найдем
.
Таким образом, имеем
,
.
Для удобства разложения в ряд Лорана
преобразуем заданную функцию, выделив
явно выражение
:
В области
имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
в области
выполнено неравенство
,
значит,
.
В области
имеем:
.
Воспользуемся формулой суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
в области
выполнено неравенство
,
значит,
.
Таким образом, в разных областях аналитичности функция имеет различные разложения в ряд Лорана.
Задача 6. Дана функция
.
Найдите её изолированную особую точку
и разложите функцию в ряд Лорана в
окрестности точки
.
С помощью вычетов найдите интегралы
,
,
,
где
,
,
– заданные контуры.
;
,
,
.
Решение.
Единственной изолированной особой
точкой функции, очевидно, является
.
Во всех остальных точках комплексной
плоскости функции является аналитической.
Для разложения функции в ряд Лорана
преобразуем её следующим образом,
выделив явно
:
Воспользуемся стандартным разложением косинуса в ряд Тейлора:
Видно, что
является существенно особой точкой
функции, так как ряд Лорана содержит в
главной части бесконечное число
слагаемых.
Для вычисления интеграла изобразим
контуры
и особую точку функции
на рисунке.
Найдем
вычеты функции
.
В разложении функции в ряд Лорана по
степеням
,
коэффициенту
соответствует слагаемое 0.
Следовательно,
.
Вычислим заданные интегралы:
,
т.к. внутри контура расположена только
одна особая точка
функции.
,
т.к. внутри контура расположена только
одна особая точка
функции.
,
т.к. точка
расположена вне контура интегрирования.
Задача 7. Вычислите интеграл с помощью интегральной формулы Коши. Направление обхода контура – положительное.
,
.
Решение.
.
Подынтегральная функция
имеет следующие особые точки:
,
,
.
Изобразим контур интегрирования и особые точки на рисунке.
Внутри
контура интегрирования
расположены точки
,
,
.
Окружим их контурами
,
,
в виде положительно ориентированной
окружности, целиком лежащей внутри
круга
,
в результате получим двухсвязную
область. По интегральной теореме Коши
для многосвязной области запишем
Задача 8. Найдите изображение заданного оригинала.
.
Решение.
Представим заданную функцию-оригинал
в виде
,
где
Используя таблицу получим
Окончательно по свойству линейности преобразования Лапласа получаем
Задача 9. Найдите оригинал по заданному изображению.
.
Решение.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей
Воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
.
Задача 10. Решите дифференциальное уравнение операционным методом.
;
,
.
Решение.
Пусть
правая часть уравнения является
оригиналом, тогда и искомая функция
будет оригиналом. Преобразуем обе части
уравнения по Лапласу, воспользовавшись
формулой изображения производной
оригинала:
,
где
.
Имеем
,
,
,
.
Операторное уравнение имеет вид
,
.
Выразим
:
Упростим данное выражение, представив его в виде суммы простейших дробей:
Таким образом
Следовательно, решением заданного уравнения, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция
.