Ch−¬ng II
§Þnh gi¸ sai sè ®o l−êng
Më ®Çu
§o l−êng lµ mét ph−¬ng ph¸p vËt lý thùc nghiÖm nh»m môc ®Ých thu ®−îc nh÷ng th«ng tin vÒ ®Æc tÝnh sè l−îng cña mét ®èi t−îng hay mét qu¸ tr×nh cÇn nghiªn cøu. Nã ®−îc thùc hiÖn b»ng c¸ch so s¸nh ®¹i l−îng cÇn ®o víi ®¹i l−îng ®· chän dïng lµm tiªu chuÈn, lµm ®¬n vÞ. KÕt qu¶ ®o ®¹c biÓu thÞ b»ng sè hay biÓu ®å; kÕt qu¶ ®o ®−îc nµy chØ lµ gi¸ trÞ gÇn ®óng, nghÜa lµ phÐp ®o cã sai sè. Ch−¬ng nµy sÏ nghiªn cøu vÒ c¸ch xö lý c¸c trÞ sè gÇn ®óng ®ã tøc lµ cÇn ®¸nh gi¸ ®−îc ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o.
2.1 Nguyªn nh©n vµ ph©n lo¹i sai sè trong ®o l−êng
2.1.1 Nguyªn nh©n g©y sai sè
Kh«ng cã phÐp ®o nµo lµ kh«ng cã sai sè. VÊn ®Ò lµ khi ®o cÇn ph¶i chän dïng ph−¬ng ph¸p thÝch hîp, còng nh− cÇn chu ®¸o, thµnh th¹o khi thao t¸c..., ®Ó h¹n chÕ sai sè c¸c kÕt qu¶ ®o sao cho ®Õn møc Ýt nhÊt.
C¸c nguyªn nh©n g©y sai sè th× cã nhiÒu, ng−êi ta ph©n lo¹i nguyªn nh©n g©y sai sè lµ do c¸c yÕu tè kh¸ch quan vµ chñ quan g©y nªn.
C¸c nguyªn nh©n kh¸ch quan vÝ dô nh−: dông cô ®o l−êng kh«ng hoµn h¶o, ®¹i
l−îng ®o ®−îc bÞ can nhiÔu nªn kh«ng hoµn toµn ®−îc æn ®Þnh...
C¸c nguyªn nh©n chñ quan, vÝ dô nh−: do thiÕu thµnh th¹o trong thao t¸c, ph−¬ng
ph¸p tiÕn hµnh ®o kh«ng hîp lý...
V× cã c¸c nguyªn nh©n ®ã vµ ta kh«ng thÓ tuyÖt ®èi lo¹i trõ hoµn toµn ®−îc nh− vËy, nªn kÕt qu¶ cña phÐp ®o nµo còng chØ cho gi¸ trÞ gÇn ®óng. Ngoµi viÖc cè g¾ng h¹n chÕ sai sè ®o ®Õn møc Ýt nhÊt, ta cßn cÇn ®¸nh gi¸ ®−îc xem kÕt qu¶ ®o cã sai sè ®Õn møc ®é nµo.
28
2.1.2 Ph©n lo¹i sai sè
C¸c sai sè m¾c ph¶i trong phÐp ®o cã nhiÒu c¸ch ph©n lo¹i. Cã thÓ ph©n lo¹i theo nguån gèc sinh ra sai sè, theo quy luËt xuÊt hiÖn sai sè hay ph©n lo¹i theo biÓu thøc diÔn ®¹t sai sè.
Ph©n lo¹i theo quy luËt xuÊt hiÖn sai sè ®−îc chia lµm hai lo¹i: sai sè hÖ thèng vµ sai sè ngÉu nhiªn.
1. Sai sè hÖ thèng
Sai sè nµy do nh÷ng yÕu tè th−êng xuyªn hay c¸c yÕu tè cã quy luËt t¸c ®éng. Nã khiÕn cho kÕt qu¶ ®o cã sai sè cña lÇn ®o nµo còng nh− nhau, nghÜa lµ kÕt qu¶ cña c¸c lÇn ®o ®Òu hoÆc lµ lín h¬n hay bÐ h¬n gi¸ trÞ thùc cña ®¹i l−îng cÇn ®o.
Tuú theo nguyªn nh©n t¸c dông, mµ sai sè hÖ thèng cã thÓ ph©n thµnh c¸c nhãm sau ®©y:
-Do dông cô, m¸y mãc ®o chÕ t¹o kh«ng hoµn h¶o.
VÝ dô: kim chØ thÞ cña thiÕt bÞ chØ thÞ kh«ng chØ ®óng vÞ trÝ ban ®Çu, m¸y mãc
kh«ng ®−îc chuÈn l¹i thang ®é víi c¸c m¸y chuÈn ...
-Do ph−¬ng ph¸p ®o, hoÆc lµ do c¸ch chän dïng ph−¬ng ph¸p ®o kh«ng hîp lý; hoÆc khi xö lý kÕt qu¶ ®o, khi tÝnh to¸n ®Ó cho ®¬n gi¶n h¬n ®· tù ý bá qua mét sè yÕu tè nµo ®Êy. VÝ dô nh− bá qua c¸c ¶nh h−ëng ghÐp ký sinh cña m¹ch ®o...
-Do khÝ hËu, vÝ dô nhiÖt ®é, ®é Èm khi tiÕn hµnh ®o kh¸c víi ®iÒu kiÖn khÝ hËu tiªu
chuÈn ®· quy ®Þnh trong quy tr×nh sö dông m¸y ®o...
2. Sai sè ngÉu nhiªn
Sai sè ngÉu nhiªn lµ sai sè do c¸c yÕu tè biÕn ®æi bÊt th−êng, kh«ng cã quy luËt t¸c ®éng. Tuy ta ®· cè g¾ng thùc hiÖn ®o l−êng trong cïng mét ®iÒu kiÖn vµ chu ®¸o nh− nhau, nh−ng v× do nhiÒu yÕu tè kh«ng biÕt, kh«ng khèng chÕ ®−îc, nªn ®· sinh ra mét lo¹t kÕt qu¶ ®o kh¸c nhau. VÝ dô: do ®iÖn ¸p cung cÊp cña m¹ch ®o kh«ng æn ®Þnh, do biÕn thiªn khÝ hËu cña m«i tr−êng chung quanh x¶y ra trong qu¸ tr×nh ®o l−êng...
Ngoµi hai lo¹i sai sè trªn, cßn nh−ng lo¹i sai sè hoÆc khi ®o ta cßn nhËn ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ c¸c lÇn ®o cã c¸c gi¸ trÞ sai kh¸c qu¸ ®¸ng. Nã th−êng do nh÷ng yÕu tè chñ quan cña ng−êi ®o g©y ra, nh− thiÕu chu ®¸o; hay do c¸c t¸c ®éng ®ét ngét cña bªn ngoµi. C¸c kÕt qu¶ ®o nµy qua suy xÐt chñ quan, ta cã thÓ biÕt ®−îc nã lµ c¸c gi¸ trÞ v« nghÜa vµ ta cã thÓ lo¹i bá ngay ®−îc. Th−êng ng−êi ta gäi c¸c kÕt qu¶ ®o nµy lµ c¸c trÞ sè ®o sai.
29
Sau khi ®o, ®Ó hiÖu chØnh vµ ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ ®o, ta cã thÓ lo¹i bá c¸c sai sè hÖ thèng ®−îc. Sù xö lý nµy ®−îc thùc hiÖn ®¬n gi¶n b»ng phÐp céng ®¹i sè (cã kÓ c¶ dÊu), khi mµ ®· ®Þnh l−îng ®−îc gi¸ trÞ cña sai sè hÖ thèng. Dï lµ sai sè hÖ thèng cña mét hay nhiÒu nguyªn nh©n th× ta cã thÓ hiÖu chØnh ®−îc, vÝ dô nh− b»ng c¸ch chuÈn l¹i m¸y mãc thiÕt bÞ ®o víi m¸y mÉu.
Víi sai sè ngÉu nhiªn, ta kh«ng thÓ xö lý ®−îc. V× kh«ng biÕt gi¸ trÞ sai sè lµ bao nhiªu, vµ theo chiÒu h−íng nµo, lín h¬n hay bÐ h¬n gi¸ trÞ thùc tÕ. §Ó cã thÓ “®Þnh l−îng” ®−îc gi¸ trÞ sai sè ngÉu nhiªn, tøc lµ ®¸nh gi¸ ®−îc ®é chÝnh x¸c cña kÕt qu¶ ®o, th× ng−êi ta dïng c«ng cô to¸n häc lµ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª. V× vËy, néi dung c¸ch xö lý kÕt qu¶ ®o sÏ xÐt tíi ë c¸c tiÕt sau, còng chØ chñ yÕu lµ ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy.
2.1.3 C¸c biÓu thøc diÔn ®¹t sai sè
Th«ng th−êng c¸c sai sè hay ®−îc ph©n lo¹i theo biÓu thøc diÔn ®¹t. Theo c¸ch ph©n lo¹i nµy th× cã hai lo¹i sau: sai sè tuyÖt ®èi vµ sai sè t−¬ng ®èi.
1. Sai sè tuyÖt ®èi
Ng−êi ta ®Þnh nghÜa sai sè tuyÖt ®èi lµ trÞ tuyÖt ®èi cña hiÖu sè gi÷a hai gi¸ trÞ ®o ®−îc vµ gi¸ trÞ thùc cña ®¹i l−îng cÇn ®o.
NÕu gäi a lµ gi¸ trÞ ®o ®−îc, X lµ trÞ thùc cña ®¹i l−îng cÇn ®o th×:
∆x*= a-X (1) lµ sai sè tuyÖt ®èi.
Trªn thùc tÕ, v× ch−a biÕt ®−îc X, nªn kh«ng ®Þnh l−îng cô thÓ ®−îc ∆x*. Nh−ng c¨n cø vµo dông cô ®o vµ kh¶ n¨ng ®¹t ®−îc chÝnh x¸c cña phÐp ®o, còng nh− thùc hiÖn c¸ch ®o nhiÒu lÇn, ta cã thÓ t×m ®−îc giíi h¹n cùc ®¹i cña ∆x*: ∆x*≤∆x vµ lÊy ∆x lµ sai sè tuyÖt ®èi.
2. Sai sè t−¬ng ®èi
Sai sè t−¬ng ®èi lµ tû sè cña sai sè tuyÖt ®èi vµ trÞ sè thùc cña ®¹i l−îng cÇn ®o:
δx = |
∆x |
(2) |
|
X |
|||
|
|
Sai sè t−¬ng ®èi ®−îc biÓu thÞ d−íi d¹ng phÇn tr¨m (%). Sai sè t−¬ng ®èi nh− biÓu thøc (2) lµ sai sè t−¬ng ®èi ch©n thùc, nã ®óng theo ®Þnh nghÜa. Tuy vËy, nã kh«ng cã gi¸ trÞ trong thùc tiÔn tÝnh to¸n, v× ch−a biÕt ®−îc X.
Trong tr−êng hîp ∆x << X, vµ ∆x << a (tøc lµ a vµ X coi nh− xÊp xØ nhau)
30
δ x = |
∆x |
(3) |
|
a
Sai sè t−¬ng ®èi nh− biÓu thøc (3) lµ sai sè t−¬ng ®èi danh ®Þnh.
Cßn cã lo¹i biÓu thøc sai sè t−¬ng ®èi kh¸c hay ®−îc dïng ®Ó ®¸nh gi¸ phÈm chÊt cña c¸c ®ång hå ®o. §ã lµ sai sè t−¬ng ®èi chiÕt hîp:
x = ∆x |
(4) |
A
ë ®©y, A lµ giíi h¹n cùc ®¹i cña l−îng tr×nh thang ®o cña ®ång hå ®Ó ®o. Sai sè t−¬ng ®èi chiÕt hîp lµ cÊp chÝnh x¸c cña ®ång hå. Nã ®−îc ghi trùc tiÕp b»ng ch÷ sè lªn trªn mÆt ®ång hå ®o, cïng c¸c ký hiÖu kh¸c. VÝ dô nh− ë h×nh 2-1, ch÷ sè 1,5 ghi ë gãc lµ biÓu thÞ cÊp chÝnh x¸c cña ®ång hå ®o b»ng 1,5.
Sai sè tuyÖt ®èi lµ mét ®¹i l−îng cã thø nguyªn. Sai sè t−¬ng ®èi lµ ®¹i l−îng kh«ng cã thø nguyªn. Khi ®¸nh gi¸ phÈm chÊt cña phÐp ®o th× sai sè t−¬ng ®èi biÓu thÞ ®Çy ®ñ h¬n vµ nã cßn cã thÓ dïng ®Ó so s¸nh ®é chÝnh x¸c
gi÷a c¸c phÐp ®o c¸c ®¹i l−îng kh¸c nhau.
VÝ dô, khi ®o hai tÇn sè f1 = 100Hz, f2 = 1000Hz; c¶ hai ®Òu cã sai sè tuyÖt ®èi lµ f=±1Hz. NÕu nh− chØ so s¸nh b»ng sai sè tuyÖt ®èi th× hai phÐp ®o lµ nh− nhau. Nh−ng hai phÐp ®o cã ®é chÝnh x¸c kh¸c nhau; ®é chÝnh x¸c nµy
H×nh 2-1 |
®−îc biÓu thÞ b»ng sai sè t−¬ng ®èi: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
f1 = |
1 |
.100 0 0 =10 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
100 |
|
|
|
|
f2 = |
1 |
|
.100 0 0 = 0,10 |
0 |
|
|
1000 |
|
|
|
Nh− vËy phÐp ®o tÇn sè f2 cã ®é chÝnh x¸c cao h¬n phÐp ®o f1.
2.2 øng dông ph−¬ng ph¸p ph©n bè chuÈn ®Ó ®Þnh gi¸ sai sè
§Ó ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ cña phÐp ®o, ta ph¶i giíi h¹n, ®Þnh l−îng ®−îc sai sè ngÉu nhiªn. Muèn lµm ®−îc ®iÒu nµy, th× cÇn t×m ®−îc quy luËt ph©n bè cña nã. §Ó t×m ®−îc, ng−êi ta dïng c«ng cô to¸n häc cÇn thiÕt cho viÖc nghiªn cøu sù ph©n bè lµ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ thèng kª.
Víi sai sè cña mçi lÇn ®o riªng biÖt, sau khi ta ®· lo¹i bá sai sè hÖ thèng råi th× nã hoµn toµn cã tÝnh chÊt cña mét sù kiÖn ngÉu nhiªn. KÕt qu¶ cña lÇn ®o nµy hoµn toµn
31
kh«ng phô thuéc g× víi kÕt qu¶ cña lÇn ®o kh¸c, v× c¸c lÇn ®o ®Òu riªng biÖt, vµ ®Òu chÞu nh÷ng yÕu tè ¶nh h−ëng tíi kÕt qu¶ ®o mét c¸ch ngÉu nhiªn kh¸c nhau. Víi mçi lÇn ®o chØ cho ta mét kÕt qu¶ nµo ®ã. Nh− vËy, dïng phÐp tÝnh x¸c suÊt ®Ó nghiªn cøu, tÝnh to¸n c¸c sai sè ngÉu nhiªn, th× cÇn thùc hiÖn c¸c ®iÒu kiÖn sau:
-TÊt c¶ c¸c lÇn ®o ®Òu ph¶i tiÕn hµnh víi ®é chÝnh x¸c nh− nhau. NghÜa lµ kh«ng nh÷ng cïng ®o ë mét m¸y, trong cïng mét ®iÒu kiÖn, mµ víi c¶ sù thËn träng, chu ®¸o nh− nhau.
-Ph¶i ®o nhiÒu lÇn. PhÐp tÝnh x¸c suÊt chØ ®óng khi cã mét sè nhiÒu c¸c sù kiÖn.
2.2.1 Hµm mËt ®é ph©n bè sai sè
§Ó x©y dùng vµ hiÓu ®−îc quy luËt ph©n bè, mµ tõ ®ã ¸p dông ®−îc vµo phÐp tÝnh to¸n sai sè. Ta còng cÇn ph¶i xÐt tíi ®Æc tÝnh cÊu t¹o cña hµm sè ph©n bè sai sè.
§Ó dÔ tr×nh bµy, ta gi¶ sö lµ khi tiÕn hµnh ®o mét ®¹i l−îng nµo ®ã, ta ®o nhiÒu lÇn, vµ ®−îc mét lo¹t sè liÖu kÕt qu¶ ®o cã c¸c sai sè lÇn l−ît lµ x1, x2, ... xn.
Sè l−îng lÇn ®o lµ n, còng ®ång thêi lµ sè l−îng cña c¸c sai sè. Ta s¾p xÕp c¸c sai sè theo gi¸ trÞ ®é lín cña nã thµnh tõng nhãm riªng biÖt. VÝ dô, cã n1 sai sè cã trÞ sè tõ 0÷0,01; cã n2 sai sè x cã trÞ gi¸ còng vÝ dô nh− tõ 0,01÷0,02, ... còng tiÕn hµnh s¾p xÕp c¶ vÒ phÝa cã trÞ gi¸ ©m: tõ 0÷-0,01, tõ -0,01÷-0,02 ... nh− trªn.
Ta cã c¸c tû sè:
nn1 = ν1 ; nn2 = ν2 ..., ë ®©y, ν1 vµ ν2 ... gäi lµ tÇn xuÊt (hay tÇn sè xuÊt hiÖn) c¸c
lÇn ®o cã c¸c sai sè ngÉu nhiªn n»m trong kho¶ng cã gi¸ trÞ giíi h¹n ®ã.
|
|
|
|
|
|
|
|
H×nh 2-3 |
|
H×nh 2-2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LËp c¸c sè liÖu trªn thµnh biÓu ®å ph©n bè tÇn xuÊt nh− h×nh 2-2 Trôc hoµnh lµ gi¸ trÞ cña c¸c sai sè x; trôc tung lµ tÇn xuÊt ν; diÖn tÝch cña mçi h×nh ch÷ nhËt nhá biÓu thÞ
32