Метод обратных функций
Лемма. Если случайная величина имеет плотность распределения , то случайная величина имеет равномерный закон распределения на интервале , т.е.
Теорема. Пусть – функция распределения некоторой случайной величины , γ – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале [0, 1]. Тогда случайная величина , где – обратная функция, подчиняется закону распределения .
1
Исходя из этого, случайное число , подчиняющееся закону ,
определяют по формуле:
Пример. Пусть . Пусть получено равномерно распределенное на случайное число .Решаем уравнение
(2)
С учетом этого уравнение (2) принимает вид
,
откуда . Последнее верно, т. к. и , и - равномерно распределенные на случайные числа.
К сожалению, интегралы могут быть «неберущимися», и тогда пришлось бы использовать численное интегрирование совместно с численным решением уравнения (2). Это крайне трудоемкая процедура, которая приводит к ощутимым затратам машинного времени.
Вернемся к имитационной модели.
В нашем случае от подобных процедур легко избавиться, если учесть, что на практике функция - монотонно возрастающая. Это позволяет для заданного времени безотказной работы найти значения . Тогда проверка работоспособности элементов сведется к проверке условия
,
где - равномерно распределенное на случайное число;
- номер элемента;
- номер очередной реализации случайного процесса.
Это равносильно условию .
Как видно, громоздкая процедура вычисления обратной функции здесь не требуется.
Можно также существенно упростить логическое выражение, если перейти от события «безотказная работа системы» к событию «отказ системы». Отказ системы означает истинность выражения
С учетом сделанных упрощений алгоритм моделирования принимает следующий вид.
-
По заданному времени безотказной работы системы вычислить
.
-
Положить , .
-
Получить три равномерно распределенных на случайных числа .
-
Проверить истинность логического выражения . Если оно истинно, то положить и перейти к шагу 5; иначе перейти к шагу 5.
-
Положить .
-
Если , перейти к шагу 3; иначе вычислить и вывести
.
-
Стоп.
При построении закона распределения эти действия необходимо повторять последовательно для всех значений t от 0 до arg(P(t)<=0.01), т. е до тех пор, пока вероятность безотказной работы не опустится до значения 0.01 или менее. Среднее время безотказной работы следует вычислить для этого же диапазона значений t.