Метод обратных функций

Лемма. Если случайная величина имеет плотность распределения , то случайная величина имеет равномерный закон распределения на  интервале , т.е. 

Теорема. Пусть – функция распределения некоторой случайной величины , γ – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале [0, 1]. Тогда случайная величина , где – обратная функция, подчиняется закону распределения .

 

1

Исходя из этого, случайное число , подчиняющееся закону ,

определяют по формуле:

Пример. Пусть . Пусть получено равномерно распределенное на случайное число .Решаем уравнение

(2)

С учетом этого уравнение (2) принимает вид

,

откуда . Последнее верно, т. к. и , и  -  равномерно распределенные на случайные числа.

К сожалению, интегралы могут быть «неберущимися», и тогда пришлось бы использовать численное интегрирование совместно с численным решением уравнения (2). Это крайне трудоемкая процедура, которая приводит к ощутимым затратам машинного времени.

Вернемся к имитационной модели.

В нашем случае от подобных процедур легко избавиться, если учесть, что на практике функция  - монотонно возрастающая. Это позволяет для заданного времени безотказной работы найти значения . Тогда проверка работоспособности элементов сведется к проверке условия

,

где - равномерно распределенное на случайное число;

- номер элемента;

- номер очередной реализации случайного процесса.

Это равносильно условию .

Как видно, громоздкая процедура вычисления обратной функции здесь не требуется.

Можно также существенно упростить логическое выражение, если перейти от события «безотказная работа системы» к событию «отказ системы». Отказ системы означает истинность выражения

С учетом сделанных упрощений алгоритм моделирования принимает следующий вид.

1. По заданному времени безотказной работы системы вычислить

.

2. Положить , .

3. Получить три равномерно распределенных на случайных числа .

4. Проверить истинность логического выражения .   Если оно истинно, то положить и перейти к шагу 5; иначе перейти к шагу 5.

5. Положить .

6. Если , перейти к шагу 3; иначе вычислить и вывести

.

7. Стоп.

При построении закона распределения эти действия необходимо повторять последовательно для всех значений t от 0 до arg(P(t)<=0.01), т. е до тех пор, пока вероятность безотказной работы не опустится до значения 0.01 или менее. Среднее время безотказной работы следует вычислить для этого же диапазона значений t.