7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х_0, если

и бесконечно большой при х →х₀ , если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х₀) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х₀).

2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.

8. Свойства предела функции.

1. Функция f(x) в точке х₀ может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

Тогда для любой последовательности { х_n} сходящейся к х₀ (где все х_n≠ х₀), мы должны иметь два предела

что невозможно, т.к. последовательность {f(х_n)} может иметь только один предел.

2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U₁=( х₀-ε ; х₀+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности f(x) в этой окрестности должна найтись точка х₁ U₁ , такая что │f(х₁)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U₂=( х₀-ε/2 ; х₀+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х₂ U₂ , такая что │f(х₂)│>2. Продолжив это рассуждение, получим U_n=( х₀-ε/n ; х₀+ε/n) , f(х_n) > n, х_n → х₀ ; f(х_n)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x) ≥b , то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4 .Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f(x)≥g(x) , то и если пределы существуют.

5 . Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f(x) и h(x) при х→ х₀ существуют и равны между собой

Арифметические свойства пределов.

9. Односторонние пределы.

О пр.Число а называют пределом функции f(x)в точке х₀ справа, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {х_n}, в которой все х_n>х₀, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

Аналогично определяют предел функции слева:

10. Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя бы один из пределов

П рямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x) представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

11 Монотонные функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.

Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.