19. Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка с принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С  a, с  b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x)  f(c) при x[a;b]

f(x)  f(c)  0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)f(c))/(x-c)

1) xc  0 f’(c) 0  f’(c) = 0

2) xc  0 f’(c) 0

20. Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max , f(x₂) = m – min ; x₁;x₂  [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m  f(x)  M

 ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а  ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть Mm

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b)  свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а  будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

21. Теорема Лагранжа

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]

2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).

Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство: (f(b)f(a))/(ba)=f’(c), a < c< b

Док-во:

Введем вспомогательную ф-ю F(x).

F(x) = f(x)  f(a)  [(f(b)f(a))/(ba)]*(xa)

Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;

2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.

F’(x) = f’(x)  (f(b)f(a))/(ba)

3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0

F(a) = f(a)  f(a)  (f(b)f(a))/(ba)*(а - а) = 0

F(b) = f(b)  f(a)  (f(b)f(a))/(ba)*(ba) = 0

 производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0

f’(c)  (f(b)f(a))/(ba) = 0, отсюда

f’(c) = (f(b)f(a))/(ba)

Геометрическое истолкование

CB/AC = (f(b)f(a))/(ba)

На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная  хорде АВ.

22. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)

Пусть 1) существуют f(x) и g(x), которые непрерывны на [a;b]

2) существует f’(x), g’(x) в (a;b)

Между а и b найдется точка с, такая, что выполняется равенство:

(f(b)f(a))/(g(b)g(a)) = f’(c)/g’(c), a  c  b

Применив к обеим функциям теорему Лагранжа и разделив полученные равенства, получим требуемое.

23. Свойства выпуклости (вогнутости).

График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот.

f”(x)0 f”(x)0

Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.

Необходимое условие - чтобы f”(x₁)=0

Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту точку.