visshaya_matematika_chast_IV

§5. Індивідуальне завдання 6.5

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z + i | ≤ 2, | z− i |> 2 .

функцію f (z) за відомою

дійсною частиною u (x, y)

та значенням f (z0 ) :

u (x, y) =

x

, z0 = 1, f (z0 ) = 1

+ i .

x2

+ y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (12z2 + 4z3 +1) dz , АВ – відрізок прямої:

zA = 1, zB = i .

AB

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

ch 5z −1

.

ez

−1− z

7. Обчислити інтеграли:

z (sin z + 2)

2π

dt

а)

v∫

dz ;

б) ∫

;

sin z

5 − 4sin t

z−

3

= 2

0

2

+∞

dx

+∞

x sin

x

2

в) ∫

;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 4)(x

2

+ 9)

2

(x

2

+1)(x

2

+ 9)

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

3a

t

–1

9. Знайти оригінал

f (t)

за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

p

.

( p +1)( p2 + 4 p + 5)

10. Знайти розв’язок y = y(t)

задачі Коші для заданого диференціаль-

ного рівняння операційним методом:

y′′ + y′ − 2 y = −2 (t +1) ,

y(0) = 1,

y′(0) = 1 .

314

6.

Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

ez −1

.

sin z − z +

z3

7.

6

Обчислити інтеграли:

v∫

2z | z −1|

2π

dt

а)

dz ;

б) ∫

;

sin z

8 − 3

7 sin t

z−

3

=2

0

2

x

+∞

dx

+∞

(x3 − 2) cos

в) ∫

;

г) ∫

2

dx .

(x

2

+ 9)(x

2

+ 4)

2

(x

2

+

1)

2

−∞

−∞

8.

За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

1/2

2a

9.

Знайти оригінал

f (t) за заданим зображенням F( p) :

F ( p) =

4

.

p3 + 3

§5. Індивідуальне завдання 6.5

315

2. Представити в алгебраїчній формі Ln (

3 + i) .

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z − 2 − i | ≤ 2, Im z< 1, Re z≥ 3 .

4. Відновити аналітичну в околі точки z0 функцію

f (z) за відомою

уявною частиною v (x,

y)

та значенням f (z0 ) :

v (x, y) = −

y

, z0 = 0 , f (z0 ) = 1 .

(x +1)2 + y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫

Re z dz ,

AB : {| z |= 1,

Im z ≥

0} , ВС –

відрізок: zB = 1 ,

ABC

z

zC = 2 .

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

sin z2 − z2

.

z2

cos z −1+

2

7. Обчислити інтеграли:

v∫

z(z +1)

2

2π

dt

а)

dz ;

б) ∫

;

z−

1

=

1 sin 2π zz

0

9 − 4

5 sin t

4

3

+∞

x2

2 dx ;

+∞

(x2 − x) sin x

в) ∫

(x

2

+

3)

г) ∫

x

4

+

9x

2

+ 20

dx .

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу

f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

0

a

2a

t

–1

9. Знайти оригінал

f (t)

за заданим зображенням F( p) :

1

F ( p) = p5 + p3 .

2 y′′ − y′ = sin 3t ,

y(0) = 2, y′(0) = 1 .

11. Знайтирозв’язок x = x(t) ,

y = y(t)

задачіКошідлязаданоїсисте-

ми диференціальних рівнянь операційним методом:

x′

= −2x + 6 y +1,

x(0) = 0 ,

y(0) = 1 .

y′ = 2x + 2 ,

12. Обчислити інтеграл операційним методом:

+∞

e−3t

sin 2t

∫

dt .

0

t

Варіант №10

1. Знайти всі значення кореня

4 −1+ i

3 .

32

1+

iπ

2. Представити в алгебраїчній формі sh

.

2

3. Зобразити на комплексній площині області, задані нерівностями:

| z −1− i | ≥ 1, 0≤ Re z< 1, 0< Im z≤ 2 .

4. Відновити аналітичну в околі точки z0

функцію f (z) за відомою

уявною частиною v (x,

y) та значенням f (z0 ) :

v (x, y) = y −

y

, z0 = 1, f (z0 ) = 2 .

x2 + y2

5. Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної вздовж зада-

ної кривої:

∫ (z2 + cos z) dz , АВС – ламана:

zA = 0,

zB = 1, zC = i .

ABC

6. Визначити тип особливої точки z = 0 для функції

f (z) =

cos z2 −1

.

sh z − z −

z3

7. Обчислити інтеграли:

6

iz

2π

dt

а)

v∫

dz ;

б) ∫

;

(z − i) sin zπ

z

−

3

=1

0

4 −

7 sin t

2

§5. Індивідуальне завдання 6.5

+∞

dx

+∞

x cos x

в) ∫

;

г) ∫

dx .

(x

2

+ 2)(x

2

+ 3)

2

x

2

− 2x +

17

−∞

−∞

8. За даним графіком оригіналу f (t)

знайти зображення F( p) .

f(t)

1

a

2a

t

0

–1

9. Знайти оригінал

f (t) за заданим зображенням F( p) :