visshaya_matematika_chast_IV

251

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G G

2

+ y

2

= 1,

H = xi + yzj − xk ;

L :

x

+ y + z = 1.

x

Варіант №5

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z =

16

− x2 − y2 ; 2z = x2 + y2 .

9

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω , якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 + z2 = 1 , x2 + y2 = 4z2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ = 20z .

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

x2 + y2 + z2 = a2 (z ≥ 0) при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = x2 + y2 + z2 .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = iyz + jxz + kxy .

U = xz2 −

x3 y ; σ :

x2 − y2 − 3z +12 = 0 ;

M (2, 2, 4) .

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D (x, y, z) :

G

G

G

G

D

= ixey−z

+ jyez−x + kzex− y .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

G

G

не поле H(x, y, z) :

H

= ix3 sin y + jy3 sin z

+ kz3 sin x .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫σ

∂ u

∂

u

∂

u

dσ

∂ x

∂

y

∂

z

cos α +

cos β

+

cos γ

252

10. Перетворити заданий криволінійний інтеграл

v∫ x2 y3dx + xz2 dy + yzdz .

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

G G

G

x

2

+ y

2

= 1− z ,

E = xzi + zj + yk ;

σ :

z = 0.

G

12. Знайти модуль циркуляції поля H вздовж контуру L.

G

G

G

G

x

2

+ y

2

= 1,

H = (x − y) i + xj − zk ;

L :

z = 5.

z = 3 x2 + y2 ; z = 10 − x2 − y2 .

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : 36 (x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 = 1 , x ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ =

5

(x2+ y2 ) .

6

3. ЗнайтизарядQ поверхні σ :

x = 0 , x = 1 ,

y = 0 ,

y = 1 , z = 0 , z =1

при заданій поверхневій густині заряду γ (x, y, z) =

xyz .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = (iy

+ jx)sin z + kxy cos z .

5. Знайти напруженість електричного поля

EG за заданим потенціа-

лом U : U = xy tg

z

.

a

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалі до поверхні σ .

U = x

y − yz2 ;

σ : x2 + y2 = 4z ; M (2, 2, 1) .

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ

(x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D(x, y, z) :

G

G

G

G

D = ix ( y + z) + jy (x + z) + kz (x + y) .

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

11. Знайти потік векторного поля EG

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = 3xziG− 2xjG+ ykG;

σ

:

x + y + z = 2, x = 1, x = 0, y = 0, z = 0 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

2

G

2

+ y

2

) +1,

+ z

k ;

z = 3(x

H = yi − xj

L :

z = 4.

z = 25 − x2 − y2 ; z =

x2 + y2

.

99

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : x2 + y2 + z2 = 16 ; x2 + y2 ≤ 4 ; ρ = 2 | z | .

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

az = x2 + y2

(0 ≤ z≤ a) при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) =

xyz2 .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = iyz2 + jxz2 + 2kxyz .

254

1

2

2

2

2

; M (1, 1, 1) .

U = 7 ln

+ x

− 4xyz ; σ

: 7x

− 4 y

+ 4z

= 7

13

7. Знайти об’ємну густину електричних зарядів ρ

(x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції

G

D(x, y, z) :

G

G

xy

G

yz

G

xz

D = i

+ j

+ k

.

z

x

y

L

,

натягнутій на замкнений

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

G

2

G 2

G

2

x

2

+ y

2

+ z

2

= 2,

+ kz

;

E = ix

+ jy

σ :

z = 0 (z ≥

0).

G

12. Знайти модуль циркуляції поля H вздовж контуру L.

G

G

G

2

G

x2 + y2 + z2 = 25,

H = yzi + 2xzj + y

k

;

L :

x2 + y2 = 16 (z > 0).

Варіант №8

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z = 100 − x2 − y2 ;

z = 6 ;

x2 + y2 = 51

(x2 + y2 ≤ 51) .

2. Знайти заряд Q,

зосереджений в об’ємі Ω ,

якщо відома об’ємна

густина заряду ρ

(x, y, z) .

§3. Індивідуальне завдання 6.3

255

3. Знайти заряд Q поверхні σ

:

z2 = x2 + y2 ; (0 ≤ z≤ h)

при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = x2 + y2 .

4. Показати, що задане поле

EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E

= exy (iyz + jxz + k ) .

EG за заданим потенціа-

5. Знайти напруженість електричного поля

лом U : U = x2 + y2 −

a

.

z

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалі до поверхні σ .

U = arctg

y

+ xz ;

σ :

x2 + y2 − 2x =10 ;

M (2, 2, −1) .

x

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z)

за заданим

вектором електричної індукції D(x, y, z) :

G

G

G

G

D = iyz (2x + y) + jxz (2 y + z) + kxy (2z + x) .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

не поле HG(x, y, z) :

HG = iGln (x + y2 ) +

Gj ln ( y + z2 ) + kGln (z + x2 ) .

9. Перетворити заданий поверхневий інтеграл

w∫∫

x cos α +

y cosβ +

z cosγ

dσ

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

σ

L

натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ ,

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня)G.

G

G

G

E = ix3

+ jy3

+ kz3 ; σ : x2 + y2 + z2 = 1 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

+ y

2

= 9,

H = ixy + jyz + kxz ; L :

x

+ y + z = 1.

x

z =

21

x2 + y2 ; z =

23

− x2 − y2 .

2

2

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : 25(x2 + y2 ) = 4z2 , x2 + y

2 =

2

z , x ≥ 0 , y ≥ 0 ; ρ = 28xz .

5

3. Знайти заряд Q поверхні σ

: z2 = x2 + 4 y2 (0 ≤ z≤ 1) при заданій

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = z .

4. Показати, що задане поле

EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E = ey (iz + jxz

+ kx) .

EG за заданим потенціа-

5. Знайти напруженість електричного поля

лом U : U =

4z

+

x2

+ y2 − 4

.

x2 + y

2

z2

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалідоповерхні σ .

U = ln (1+ x2 ) − xy

z ; σ

: 4x2 − y2 + z2 = 16 ; M (1, − 2, 4) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції D(x, y, z) :

G

G

G

G

2i

jx

kx

D

=

+

+

.

y + z

( y + z)3

( y + z)3

11. Знайти потік векторного поля

EG

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

G

G

2

2

G

x

2

+ y

2

+ z

2

= 1,

− (x

+ y

E = (zx + y) i

+ (zy + x) j

) k ; σ :

0).

z = 0 (z ≥

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

x2

+ y2 + z2 = 4,

H = yi + (1− x) j + zk ;

L :

+ y2 = 1 (z > 0).

x2

Варіант №10

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z = 16 − x2 − y2 ; 6z = x2 + y2 .

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω

, якщо відома об’ємна

густина заряду ρ

(x, y, z) .

Ω : x2 + y2 + z2 = 4 , x2 + y2 = z2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ = 6z .

3. Знайти заряд Q поверхні σ : z =

a2 − x2 − y2

при заданій поверх-

невій густині заряду γ (x, y, z) = x2 + y2 .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E

= iyzx−1 +

( jz + ky) ln x .

G

5. Знайти напруженість електричного поля

за заданим потенціа-

E

лом U : U =

x2 + y2

.

az − a2

6. Знайтипохіднускалярногополя U (x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалі до поверхні σ .

U =

x2 + y2 − z ; σ

:

x2 + y2 = 24z +1 ; M (3, 4, 1) .

7. Знайти об’ємну густинуG

електричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукціїGD (x, y, z) :

D = grad ex+ y+z .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

x2

G

y2

G

z2

не поле H(x, y, z) :

H

= i tg

+ j tg

+ k tg

.

y

z

x

L

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ , натягнутій на замкнений

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

EG = y2 xiG+ z2 yjG+ x2 zkG; σ : x2 + y2 + z2 = 1 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G G

2

G

2

+ y

2

= 1,

H = yi − xj + z

k ; L :

x

= 4.

x

z = 9 − x2 − y2 ; z =

x2 + y2

.

80

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω , якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω : 25(x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 = 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 ; ρ = 2 (x2+ y2 ) .

3. ЗнайтизарядQ поверхні σ

: z = x

(x + y ≤ 1, x≥ 0, y≥ 0) призада-

ній поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = x + y + z .

4. Показати, що задане поле EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

E

= 2ixy2 z + 2 jyz + kx2 y2 .

U = x

y − ( z + y)

x ; σ

:

x2 − y2 + z2 = 4 ;

M (1, 1, − 2) .

7. Знайти об’ємну густинуGелектричних зарядів ρ (x, y, z) за заданим

вектором електричної індукції D(x, y, z) :

G

G G

G

G

G

G

G

G

2

G

2

G 2

.

D = r ×

w ;

r

= ix + jy + kz ;

w = iy

+ jz

+ kx

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

y

G

z

G

x

не поле H (x, y, z) : H = i arctg

+

j arctg

+ k arctg

.

x

y

z

§3. Індивідуальне завдання 6.3

259

L

натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ ,

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

Gj + z2 kG ; σ : x2 + y2 + z2

EG = x2iG + y2

= 1, x ≥ 0, y≥ 0, z≥ 0 .

12. Знайти модуль циркуляції поля HG

вздовж контуру L.

G

G

G

G

2

+ y

2

) +1,

H = 4xi + 2 j − xyk ;

z = 2(x

L :

z = 7.

Варіант №12

1. Визначити об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями:

z =

81− x2 − y2

; z = 5 ;

x2 + y2 = 45

(x2 + y2 ≤ 45) .

2. Знайти заряд Q, зосереджений в об’ємі Ω ,

якщо відома об’ємна

густина заряду ρ (x, y, z) .

Ω

3. Знайти заряд Q поверхні σ

: z = 2 −

1

(x2

+ y2 ) (z ≥ 0) при заданій

2

поверхневій густині заряду γ (x, y, z) = z .

4. Показати, що задане поле

EG

– потенціальне і знайти його потенціал:

G

G

G

G

ix

+ jy + kz

E

=

.

x2 + y2 + z2

5. Знайти напруженість електричного поля EG

за заданим потенціа-

лом U :

U =

z2 − xy

.

x + y − a

6. Знайтипохіднускалярногополя U ( x, y, z)

вточці М занапрямком

нормалі до поверхні σ .

U =

xy − 4 − x2 ; σ : z = x2 − y2 ;

M (1, 1, 0) .

260

G

GG G G

G G

G

G

G G

G

D =

(ra) r ; r

= ix + jy + kz ;

a

= i + j

+ k .

8. Знайтиструмзміщеннявдіелектрику, якщовньомузадане магніт-

G

G

G

G

G

не поле H(x, y, z) :

H = ixsin y + jz sin x + kysin z .

L

, натягнутій на замкнений

за формулою Стокса до інтеграла по поверхні σ

контур L.

EG

11. Знайти потік векторного поля

через замкнену поверхню σ

(нормаль зовнішня).

G

2

G

G

G

x

2

+ y

2

= z

2

,

E = x