Парабола және оның қасиеттері

Анықтама. Парабола деп фокусы деп аталатын нүктеден ара қашықтығы центрі арқылы өтпейтін директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей ара қашықтықта болатын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаның ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

р шама (фокустан директрисаға дейінгі қашықтық) параболаның параметрі деп аталады. Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығарайық.

Геометриялық кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px (*)

x = -p/2 - директрисаның теңдеуі.

Параболаның қасиеттері:

1. (*) теңдеудегі у жұп дәрежелі болғандықтан, парабола Ох өсіне қарағанда симметриялы, Ох өсі параболаның симметрия өсі болады.

2. р0 болғандықтан, (*) теңдеуден х0. Сондықтан, парабола Оу өсінің оң жағында орналасады.

3. х  0 болғанда, у  0. Демек, парабола координат басы арқылы өтеді.

4. х шектеусіз өскен сайын у-тің модулі де шектеусіз өседі. О(0; 0) нүкте параболаның төбесі , ҒМ  г М нүктесінің фокальдық радиусыболады.

y² = - 2px , х² = 2pу, х² = - 2pу (р0 ) теңдеулері де параболаларды анықтайды.

Мысал. у² = 8х параболаның бойынан директрисаға дейінгі қашықтығы 4 – ке тең болатын нүктені тап.

Шешу. Параболаның теңдеуінен р = 4 табамыз.

r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y² = 16; y = 4. Ізделінді нүктелер: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Кеңістіктегі аналитикалық геометрия

4. Кеңістіктегі жазықтық.

1. Берілген М₀(x₀, y₀, z₀) нүкте арқылы өтіп, =(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазықтықтың теңдеуі

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

2. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуі, мұндағы А, В, С коэффициенттерінің кемінде біреу нөлге тең емес, жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Мұндағы =(A,B,C) нормаль векторы.

3. Жазықтықтың нормаль теңдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теңдеуін нормаланған теңдеуіне келтіру үшін, оны нормалаушы көбейткішіне көбейту қажет. Егер D0 , болса, онда бұл көбейткіштің таңбасы D- нің таңбасына қарама – қарсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда - ның таңбасы ретінде екі таңбаның кез келгенің алуға болады, яғни Ax+By+Cz=0 теңдеудің сол жағын векторының ұзындығына бөлеміз.

М₁(x₁ ,y₁ ,z₁), М₂(x₂ ,y₂ ,z₂), М₃(x₃ ,y₃ ,z₃) үш нүктеден өтетің жазықтықтың теңдеуі анықтауыш арқылы табылады

Кеістіктегі аналитикалық геометрия

Кеңістікте түзудің теңдеуі

Жазықтықтағы тәрізді кеңістікте де кез келген сызық координаталары қандай да бір таңдалып алынған координат системасында F(x, y, z) = 0 (1) теңдеуін қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде анықталады.

(1) теңдеу кеңістіктегі сызықтың теңдеуі болады.

Сонымен қатар кеңістікте сызық басқаша да анықталуы мүмкін. Оны әрқасысы қандай да бір теңдеумен берілген екі беттің қиылысу сызығы деп қарауға болады.

Айталық F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – L сызығы бойынша қиылысатын беттердің теңдеулері болсын.

Сонда теңдеулер жүйесін кеңістіктегі сызықтың теңдеуі деп атайды.