Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП лекции Гурина Т.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

883.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

2.8. Вычеты в б.у. особых точках

Замечание. Очевидно, что c = ∞ – ИОТ функции f(z) c = 0 – ИОТ функции f z1

Классификация бесконечно ИОТ

z→c	6= ∞	= ∞	@
lim f(z)	,	,

Тип ИОТ	c = ∞ – УОТ	c = ∞ – полюс	c = ∞ – СОТ

c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) c = 0 – полюс порядка k f z1 .

Теорема 1 (Необходимое и достаточное условие бесконечной УОТ, полюса порядка k, и бесконечной СОТ).

1.c = ∞ – УОТ функции f(z) ряд Лорана f(z) по степеням z не содержит положительных степеней.

2.c = ∞ – полюс порядка k функции f(z) ряд Лорана f(z) по степеням z содержит положительные степени (до k-ой включительно).

3.c = ∞ – СОТ функции f(z) ряд Лорана f(z) по степеням z содержит бесконечное число членов с положительными степенями.

Доказательство.

c = 0

функции f

= b0 + b1z + b2z2 +

· · ·

– УОТ

a−1

a−2

+ · · · .

f(z) = b0 + b1

+ b2

+ · · · = a0 +

c = 0 – полюс k-го порядка функции f

b−k

b−k+1

b−1

= zk

+ zk−1 + · · ·

z +

0 +

z +

1· · ·

−

+ · · · .

f(z) = akz

+ ak−1z

−

+ · · · + a1z + a0 +

Аналогично.

Определение 2 (Вычет в бесконечности). c = ∞ – ИОТ f(z)

z→∞	1
z→∞	2πi I
Res f(z) :=		f(z) dz

−

52		Глава 2.			Основные свойства аналитических функций
Замечание.
1.	Функция	f(z)				является
	аналитической		в		c	=	∞,
	если zlim f(z) 6= ∞
	→∞
	(c = ∞ – УОТ)
2.	Res f(z)	=	−	a	−1	–	коэф-
2.	z=∞		−		−1	–	коэф-

фициент при степени (−1) в разложении f(z) по степеням z.

Теорема 2 (Полная теорема о вычетах). Пусть f(z) : C → C, c1, c2, . . . , cm, ∞ - изолированные особые точки функции f(z). Тогда

Res f(z) + Res f(z) = 0.

z=cj z=∞

j=1

Доказательство. M - граница окрестности UM (0). По теореме 2 §2.7

f(z)dz =

Res f(z)

Res f(z) + Res f(z) = 0.

2πi

j=1

z=cj

∞

−

Res

}

{zf(z)

z=∞

2.8. Вычеты в б.у. особых точках

Пример. Вычислить интеграл:

z3 − 1 = 2

z=1

πi Res f(z);

|z−1|=1

f(z) =

;

z3 − 1

z1 = 1;

√

z2,3 = −

± i

;

lim

∞

z = 1

- полюс

;

z→1 z3

− 1

= z3 − 1 = (z − 1) (

z2 +

+ 1);

f(z)

- полюс 1-

| {z

}

ϕ(z)

k = 1, z = 1

го порядка;

Res = lim

1) =

− 1)(z2 + z + 1) ·

−

z=1

z→1 (z

Пример. Вычислить интеграл:

√

( ) + z=

√

−

z=1

−

= 2πi

Res f(z) +

Res

f z

Res

f(z) ;

|z|=2

Рассморим точку z = ∞.

z→0

z13 − 1

lim f

= lim

= 0.

z = 0 - устранимая особая точка.

− 1 = −2

z=∞

πi Res f(z) = 0.

|z|=2

Глава 3

Преобразование Лапласа и его приложения

3.1Преобразование Лапласа и его обращение

Определение 1 (Функция-оригинал). Пусть f : R → C - комплексная функция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:

1.f(t) на R кусочно-непрерывна, за исключением, быть может, конечного или счетного числа точек разрыва первого рода;

2.t < 0 f(t) = 0;

3. |f(t)| ≤ Mest; M, S ≥ 0; inf s = s0 - показатель роста f(t).

f(t) называется функцией-оригиналом.

Пример (Функция Хевисайда).

(

0, t < 0,

η(t) =

1, t > 0;

t = 0 - точка разрыва первого рода (устранимая).

f(0−) = 0 6= f(0+) = 1.

|η(t)| ≤ 1 = 1 · e0t, M = 1, s0 = 0.

3.1. Преобразование Лапласа и его обращение

Пример.				· η(t) = (
		1			, t < 0
f(t) =		1			01
f(t) =	t	−	3		01		, t > 0
	t	−	3		t	3	, t > 0
					−

f(3−) = −∞, f(3+) = +∞, t = 3 - точка разрыва второго рода f(t) не является оригиналом по пункту 1.

Пример. f(t) = et.

f(t) > 0 при t < 0 f(t) не является оригиналом по пункту 2.

f(t) = et · η(t) является оригиналом.

|et · η(t)| ≤ et = 1 · e1·t, M = 1, s0 = 1.

Пример. f(t) = et2 · η(t).

|f(t) = et2 · η(t)| ≤ et2 f(t) - не является оригиналом по пункту 3.

56	Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения

Замечание. Функции et · η(t), cos t · η(t), sh t · η(t), tn · η(t) являются оригиналами. Также оригиналами являются их производные и интегралы. Для простоты записи η(t) опускается, но подразумевается.

Определение 2 (Преобразование Лапласа). Пусть f(t) - функцияоригинал. Комплекснозначная функция F (p) : C → C комплексного переменного p = s + iσ называется преобразованием Лапласа функции

f(t), если

+∞

F (p) = f(t)e−ptdt.

Интеграл в правой части равенства - интеграл Лапласа. Соответствие между f(t) и F (p) обозначается следующим образом: f(t) : F (p). f(t) - оригинал, F (p) - изображение оригинала f(t).

Теорема 1 (Существование преобразования Лапласа). f(t) с показателем роста s0 преобразование Лапласа F (p) существует при

Re p = s > s0.

Доказательство. Докажем сходимость несобственного интеграла:

+∞

	f(t)e−ptdt	≤	f(t)e−pt dt;

f(t)e−(s+iσ)t

f t

f(t)e−st

e−iσt

Mes0t

e−st

= Me(s0−s)t,

+∞

= |

( )|

∞

≤

∞

тогда

(s0

s)t

(s0

s)t

f(t)e−

≤

f(t)e

−

dt =

−

Интеграл равномерно сходится при Re p > s0.

Замечание. Можно доказать, что F (p) не только существует, но и аналитична при Re p > s0.

3.2. Основные свойства преобразования Лапласа

Пример.

0, t < 0,

η(t) = (1, t > 0;

s0 = 0;

+∞

∞

F p

Z 1 ·

e−ptdt

e−pt

lim e−pt

;

= −p

( ) =

= −p

t→+∞

−

1 :

Замечание. Преобразование Лапласа обратимо, т.е. F (p) : f(t).

Теорема 2 (Обращение преобразования Лапласа). Если F (p) :

C → C является изображением оригинала функции f(t), то в любой точке непрерывности справедливо равенство:

a+i∞

f(t) = 21πi Z f(p)eptdp,

a−i∞

где интеграл берется по [a − ib, a + ib] при a > s0, b → ∞.

3.2Основные свойства преобразования Лапласа

Пусть f(t), f1(t), f2(t) - функции-оригиналы и f(t) : F (p), f1(t) :

F1(p), f2(t) : F2(p).

Теорема 1 (Свойство линейности). Преобразование Лапласа линейной комбинации функций является соответствующей линейной комбинацией изображений, т.е. λ1, λ2 C

λ1f1 + λ2f2 : λ1F1(p) + λ2F2(p).

58 Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения

Доказательство. λ1f1+λ2f2 - оригинал; соответствие следует из линейности интеграла Лапласа.

Теорема 2 (Свойство подобия). α > 0

f(αt) : α1 F αp .

Доказательство.

f(αt) : f(αt)e−ptdt =

τ1 = 0, τ2 =

f(τ)e−

αp

τ dτ = 1 F p .

+∞

τ = αt

∞

+∞

dt = 1 dτ

Теорема 3 (Дифференцирование оригинала). Если f0(t) - оригинал

f0(t) : pF (p)−f(0+), f(n)(t) - оригинал f(n)(t) : pnF (p)−pn−1f(0+)−

. . .−f(n+1)(0+). Дифференцированию оригинала соответствует домножение изображения на p.

Доказательство.

u = e

−pt

f0(t) : f0

(t)e−ptdt =

0pe−ptdt

du =

+∞

−

dv = f (t)dt

v = f(t)

∞

= f(t)e−

0∞

+ p

f(t)e−

dt = pF (p)

− f(0+);

}

F(p)

Аналогично

f00(t) : p2F (p) − pf(0+) − f0(0+);

...

f(n)(t) : pnF (p) − pn−1f(0+) − . . . − fn−1(0+);

Теорема 4 (Интегрирование оригинала). Если f(t) - оригинал и f(t) : F (p), то

f(τ)dτ : F p(p).

3.2. Основные свойства преобразования Лапласа								59
Доказательство.
t	= g(t) - оригинал. Пусть g(t) : G(p). Но g0(t) = f(t) и по
f(τ)dτ	= g(t) - оригинал. Пусть g(t) : G(p). Но g0(t) = f(t) и по
R	g0(t)	pG(p) g(0 ) = pG(p)				f(t)		F (p)
0	:		−				:
теореме 3	:		−	+	, но		:
pG(p) = F (p) G(p) =				F (p)

				p

Теорема 5 (Дифференцирование изображений).

F (p) : f(t) f0(t) : −tf(t), . . . , F (n)(p) : (−1)ntnf(t).

Доказательство. Если

+∞

F (p) = f(t)e−ptdt

равномерно сходится на Re p > s0, то его можно почленно дифференцировать:

F 0(p) =	+∞f(t)e−ptdt 0			=	+∞ f(t)e−pt	p0 dt =	+∞f(t)( t)e−ptdt : tf(t).
		Z	p		Z		Z	−	−
		0	p		0		0

Аналогично теорема доказывается для производных более высокого порядка.

Теорема 6 (Интегрирование изображения).

∞

F (p) : f(t) F (p)dp : f(tt).

Интеграл берется по пути, лежащем в Re p > s0

Доказательство.

∞∞ ∞

Z	F (p)dp = Z		Z
p	p		0

f(t)e−ptdt dp =	∞f(t)dt	∞e−ptdt =		∞f(t)			1te−pt	∞ dt =
	Z	Z		Z		·		p
	0	p		0			−
		∞	t e−ptdt : t .
	= Z		t e−ptdt : t .
			f(t)		f(t)

60	Глава 3. Преобразование Лапласа и его приложения

Теорема 7 (Теорема запаздывания).

f(t) : F (p), τ > 0, тогда f(t − τ) - оригинал и f(t − τ) : e−pτ F (p).

Доказательство.

= f(θ)e−p(θ+τ)dθ =

f(t τ)

f(t τ)e−ptdt =

t = θ + τ

∞

θ = t − τ

∞

dt = dθ

−

= 0, θ

∞

= e−

∞

dθ = e−

F (p).

f(θ)e−

pθ

pτ

Теорема 8 (Теорема смещения).

F (p) : f(t), λ C F (p − λ) : eλtf(t).

Доказательство.

∞∞

Z Z

eλtf(t) : eλtf(t)e−ptdt = f(t)e−(p−λ)tdt = F (p − λ).

0 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
24.07.2017221.7 Кб65tfkp(kratko).doc
#
24.07.2017883.39 Кб89ТФКП лекции Гурина Т.А..pdf