Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП лекции Гурина Т.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

883.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

1.5. Комплексное интегрирование

Замечание. Определнние 2 и Определение 2’ эквивалентны. Это можно доказать, перейдя к интегральной сумме в определенном интеграле по t.

Теорема 1 (Независимость интеграла от задания кривой).

γ1 :

[t1, t2] 7−→1

γ2 :

[s1, s2] 7−→

γ1(t) = γ2(s) = z

Следовательно,

Z f γ1

(t) γ10 (t) dt = Z f γ2(s) γ20

(s) ds

Доказательство. Рассмотрим отображение h: [t1, t2] 7−→[s1, s2]

s = h(t), t = h−1(s),

h(t1) = s1,

h(t2) = s2,

Тогда γ2(s) = γ2(t) = γ1

h−1(s) ,

γ0

(s) = γ0

h−1

= γ0

(s)

(t)

ds = d h(t) = h0(t) dt

(t)

Z f γ2(s) γ20 (s) ds = Z f γ1(t) γ10 (t)h0(t)h0(t) dt

Теорема 2 (Свойство линейности).
λ1, λ2 C	Z	λ1f1	(z) + λ2f2	(z) dz = λ1 Z f1(z) dz + λ2 Z f2(z) dz

Доказывается исходя из Определения 2 и свойства линейного определённого интеграла.

Теорема 3 (Аддитивность).

f : −→ C,		f(z) dz + Z
Z	f(z) dz = Z	f(z) dz + Z	f(z) dz,
	1	2

z0 – начальная точка , 1, zm – начальная точка 2

32		Глава 1. Введение в комплексный анализ
Доказательство.
k−1	m−1		k−1
X	Xj		X
f(ξj)Δzj =		f(ξj)Δzj +	f(ξj)Δzj, µ = max \| zj\| → 0
j=0	=0		j=m
	Z f(z) dz = Z f(z) dz + Z f(z) dz
		1	2

1.5. Комплексное интегрирование

Теорема 4 (Зависимость комплексного интеграла от ориентации кривой).

		Z	Z
		f(z) dz = − f(z) dz
		−	+
Доказательство.
0		k−1
X		X
X	f(ξj)Δ zj = −	X	zj = zj − zj+1 = − zj, При µ → 0
	f(ξj)Δ zj = −	f(ξj)Δzj	zj = zj − zj+1 = − zj, При µ → 0

j=k−1	j=0

Теорема 5 (Вещественное представление комплексного чесла).

		f(z) = U(x, y) + i V (x, y),
Z	f(z) dz = Z	U(x, y) dx − V (x, y) dy + i Z		V (x, y) dx + U(x, y) dy
Доказательство.
	zj = xj + i yj, ξj = xj + i yj, µ → 0, xj → 0, yj → 0
	k−1	k−1
	f(ξj)Δzj =		U(xj, yj) + i V (xj, yj) (Δxj + i yj) =
	=0	j=0
	Xj	X

k−1

= U(xj, yj)Δxj + i V (xj, yj)Δyj

j=0

Теорема 6 (существования комплексного интеграла).

(достаточное условие)

f(z) = U(x, y) + i V (x, y), f C( ) f(z) dz

34		Глава 1. Введение в комплексный анализ
Доказательство.
f C( ) U(x, y), V (x, y) C( )
Z	U dx − V dy + i Z	V dx + U dy = Z	f(z) dz Z	f(z) dz

Теорема 7 (Оценка комплексного интеграла).

f(z) dz < sup |f(z)| · L

Доказательство.

( )

µ 0

j 6 µ 0

k−1

| · |

→ j=0

f z dz

lim

f(ξ )Δz

lim

f(ξ )

µ→0

06j6k

1 | ( j)| ·

k−1

j|! 6 z

| ( )|

k−1

j| =

−

=0 |

µ→0 j=0

lim

f ξ

sup

sup f z

lim

= sup |f(z)| · L

Определение 3 (Первообразная комплексной функции комплексного переменного). F (z) : Z → W – первообразная функции f(z) : Z → W

на	Z :	z	Z F 0(z) = f(z).
на

Глава 2

Основные свойства аналитических функций

2.1Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1 (Первообразная ФКП). Смотри (пар. 1.5 на стр. 34)

Теорема 1 (Ньютона-Лейбница).

		f : Z → W,			Z,		f DC(Z) ≡ O(Z),
		F (z) – первообразная f(z) на Z
		Тогда	zk	f(z) dz = F (z) z0
		Тогда	Z	f(z) dz = F (z) z0
			z0				zk


Доказательство.
	f(z) = U(x, y) + i V (x, y),					z0 = x0 + i y0
	f(z) = U(x, y) + i V (x, y),					zk	= xk + i yk
						zk	= xk + i yk
zk	(xk, yk)					(xk, yk)
zZ f(z) dz =	Z	U(x, y) dx − V (x, y) dy +				Z	V (x, y) dx + U(x, y) dy $
0	(x0, y0)				(x0, y0)

U(x, y) dx − V (x, y) dy = d U1(x, y)	т.к.
V (x, y) dx + U(x, y) dy = d U2(x, y)

Глава 2. Основные свойства аналитических функций

∂V

∂U ∂U

= −

∂V

∂U

∂(−V )

− условия полного дифференциала.

∂y

∂x

;

∂y

∂x

∂y

∂x

(xk, yk)

(x, y)+i U2

(x, y) (x0, y0)

= U(z) z0

d U1(x, y) + i

d U2(x, y) = U1

(x0, y0)

(xk, yk)

Докажем, что U(z) = U1(x, y) + i U2(x, y) – первообразная f(z).

U0(z) = ∂U1 − i∂U1 = U(x, y) − i (−V (x, y)) = U(x, y) + i V (x, y) = f(z) ∂x ∂y

U(z) = F (z) − первообразная

2.2Основная теорема Коши

Определение 1 (Простой и составной контур на комплексной плоскости). – простой контур : – связное множество, замкнутая кривая без самопересечений.

γ(t) : [t1, t2] 7→ , γ(t1) = γ(t2), t3, t4 (t1, t2), γ(t3) 6= γ(t4)

– положительно ориентированный контур : при обходе области Z по границе , область остается слева (против часовой стрелки).

– составной контур : = 1 2

· · · m – объединение простых контуров1, 2, ..., m; – не является связным множеством и ограничивает многосвязное множество Z.

Внешний контур ориентирован против часовой стрелки. Внутренний контур ориентирован по часовой стрелке.

Теорема 1 (Основная теорема Коши для простого контура). f : Z → W, − граница Z, простой контур

f O(Z) f(z) dz = 0

Доказательство. f(z) = U(x, y) + i V (x, y).

2.3. Интегральная формула Коши

U(x, y) dx − V (x, y) dy = d U1(x, y), т.к.

∂U

∂V

= −

∂y

∂x

∂V

∂U

V (x, y) dx + U(x, y) dy = d U2(x, y), т.к.

∂y

∂x

f(z) dz = I

U dx − V dy+i I

V dx + U dy = I

d U1 +i d U2 = 0+i 0 = 0

Теорема 2 (Основная теорема Коши для составного контура).

− составной положительно определенный контур.

f O(Z) f(z) dz = 0

Доказательство. = 1 2, AB 1 BA 2− простой контур.

f(z) dz = 0 f(z) dz +

AB 1 BA 2		AB
+ I	f(z) dz + Z	f(z) dz + I	f(z) dz = 0,
1+	BA	2−

f(z) dz = − f(z) dz,

	AB	BA
I f(z) dz + I f(z) dz = 0 I			f(z) dz = 0
+	−	+

2.3Интегральная формула Коши

Пусть f : Z → W, − граница Z, является простым или составным положительно ориентированным контуром f O(Z) c Z,

1		I	f(z)
Тогда f(c) =				dz
	2πi		z − c

38	Глава 2. Основные свойства аналитических функций

Теорема 1 (Интегральная формула Коши).

f O(Z) c Z,

1 f(z)

f(c) =

I+

2πi

z − c

Доказательство.

f z

)

f z

)

( )

O Z\Uρ(c)

(

dz = 0 I

( )

dz+ I

(

dz =

z c

−

z c

−

γρ+

−

γρ+

−

f(z)

f(c) + f(c)

f(z) − f(c)

= I

−

dz =

dz + f(c) I

;

z − c

γρ+

Idz

z − c

γρ+

		γρ+			γρ+
	z c = ρ ei t	2π			2π
=	dz−= ρ i ei tdt	=	ρ i ei t	dt = i	dt = i	·	2π = 2πi.
=	dz−= ρ i ei tdt	=	i t	dt = i	dt = i		2π = 2πi.
	t [0, 2π]	Z	ρ e		Z
		0			0

f(z) − f(c)

6 sup

f(z) − f(c)

2πρ 6 M

2πρ

→

−

z jp

−

f(z) f(c)

f(z)

f(c)

− c

→ f0

( или z → c)

− c

6 H−

−

f(z)

−

ограничено,

т.к. имеет предел

f0(c)

dz = 0+f(c)

2πi.

2.4Комплексные функциональные ряды

Определение 1 (Комплексый функциональный ряд).

	∞
f1(z), f2(z), . . . , fn(z), . . . , : z → C; f1(z)+f2(z)+· · ·+fn(z)+· · · =	X
	fn(z)
	n=1

2.4. Комплексные функциональные ряды

nконечная сумма первых n

fn(z)−общий член ряда.

(z) =

fk(z)− членов последовательности,

т.е. частичная сумма ряда.

k=1

Определение 2 (Поточечная равномерная сходимость

∞

−

функционального ряда).

n=1 fn(z)

– сходится поточечно на

Z :

z Z

lim Sn(z) =

S(z)

(или

lim Sn(z)

S(z) = 0

→∞

где S(z) – сумма (функционального) ряда.

∞

n=1

f z	Z	:	lim sup S		(z)	−	S(z) = 0
n( ) – сходится равномерно на		:	n→∞	n		−

Замечание. Из равномерной сходимости следует поточечная, обратное – неверно.

Теорема 1 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

∞	∞
n∞
P	fn(z) : z → C,	z Z fn(z) 6 an
=1 fn(z),					P
P	P		равномерно	на Z.
n=1 an – сходится n=1 fn(z) – сходится					an –

числовой ряд с неотрицательными членами, называется мажорирующим рядом).

Определение 3 (Комплексный степенной ряд по целым степеням).

Пусть an, c = const,

an, c

− коэф. степенного ряда

∞

−

центр степенного ряда

n=0

an(z − c)

степенной ряд по неотрицательным степеням.

−

∞

степенной ряд по

an(z − c)n

−

c)m

n=−∞

отрицательным степеням.

m=1

степенной ряд по

∞

an(z − c)n

∞

an(z − c)n

−

c)n

целым степеням.

−

n=−∞

n=0

n=−∞

∞

Теорема 2 (Абеля). P an(z−c)n

степенной ряд по неотрицательным

n=0

степеням, сходящийся при z = z0, следовательно:

	∞		−
	P		−
1.	n=0 an(z − c)n				сходится абсолютно и поточечно при		z − c < ρ,
	где ρ =	z0			c
	∞			n
	P					6 ρ1
2.	n=0 an(z − c)				сходится равномерно при z − c	6 ρ1	< ρ

40 Глава 2. Основные свойства аналитических функций

Замечание. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга поточечной сходимости.

∞

an(z0 −c)n сходится. Тогда nlim an(z0 −c)n = 0,

Доказательство. 2)

т.е.

> 0

т.ч.

n=0

)

−n

→∞

n( 0

где

следовательно

последовательность

an(z0

c)n

ограничена,

−

(z c)n

−

ρ =

a z

= a ρ

Общий член степенного

an(z

−

ряда

−

Т.к. |z − c| 6 ρ1 < ρ, то

−

6 q < 1,

q =

an(z0 − c)n

qnρn

6 Mqn быстро убывающая геом. прогрессия.

по признаку Вейерштрасса:

∞ Mqn сходящийся

мажорирующий ряд. =

−

| 6

ρ1

nPan(z

c)n равномерно сходящийся ряд, при

< ρ

−

−c)

an(z −c)

равномерно сходящийся, ρ1 →

an(z

сходится поточечно, при

c < ρ и абсолютно.

∞

степенной

ряд

Теорема

(Коши-Адамара). n=0 an(z − c)n

неотрицательными степенями.

Следовательно,

+ :

1.|z − c| < R ряд сходится поточечно и абсолютно.

2.|z − c| > R ряд расходится.

3.|z − c| 6 ρ1 < R ряд сходится равномерно. Доказательство. 1) Применим признак Коши

q = lim

n a

c n

= |

lim n

< 1

n→∞

−

)

1−

| n→∞

|z − c| <

= R.

Отсюда R = nlim

lim

n a

n→∞ p|

→∞ p|

3) По теореме Абеля равномерная сходимость при |z − c| 6 ρ1 < R

Замечание.

1. R = lim

|an|

n→∞ an+1

2. При |z−c| = R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
24.07.2017221.7 Кб68tfkp(kratko).doc
#
24.07.2017883.39 Кб91ТФКП лекции Гурина Т.А..pdf