Добавил:

neus500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП лекции Гурина Т.А

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.07.2017

Размер:

883.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

2.4. Комплексные функциональные ряды

Замечание. Теорема 2 и Теорема 3 могут быть сформулированы и

∞

a−n

доказаны для степенных рядов по отрицательным степеням n=1

(z − c)n

−

n+1)

сходится

|a−n| =

nlim

− |

r = nlim

−n

ряд

→∞

абсолютно поточечно при z

c >

r и равномерно, при |z − c| > ρ2 > r

∞

an(z − c)n – по целым степеням

Если

n=−∞

т.е. абсолютно

поточечно

n, и rP< R,

сходится, то r < |z − c| < R – кольцо

сходимости, а равномерная сходимость –

при r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R внутри

кольца сходимости.

Теорема 4 (О пределе суммы функционального ряда).

∞

Z :

Пусть fn(z) – равномерно сходится на Z. Тогда z

n=1

lim

fn(z) =

lim fn(z),

lim S(z) =

lim fn(z)

z→c n=1

n=1 z→c

z→c

n=1 z→c

Теорема 5 (О непрерывности суммы функционального ряда).

	∞
	nP
Пусть	=1 fn(z) – равномерно сходится на Z, n fn(z) C(z). Тогда:
	∞
	X
	S(z) = fn(z) C(z)
	n=1

Теорема 6 (О почленном интегрировании функционального ряда).

∞

Пусть fn(z) – равномерно сходится на Z, Z, fn(z) C( ). Тогда:

n=1
Z	∞	∞		Z	∞
Z	n=1 fn(z) dz = n=1 Z		fn(z) dz,	Z	S(z) dz = n=1 Z	fn(z) dz
	X	X			X

Теорема 7 (О почленном дифференцировании степенного ряда).

	∞
Пусть дан ряд	nP	Радиус сходимости R. Тогда:
Пусть дан ряд	=0 an(z − c)n,	Радиус сходимости R. Тогда:
					∞
					X
S(z) DC \|z − c\| 6 ρ < R , S0(z) =					n an(z − c)n−1,
					n=0
	т.е.		∞	an(z − c)n!0		=	∞	an(z − c)n	0
			n=0				n=0
			X				X

42	Глава 2. Основные свойства аналитических функций

Доказательство.

∞

an(z − c)n – равномерно сходится на |z − c| 6 ρ < R,

n=0

R = lim

z +

6 ρ < R

∞

n→∞ p|an|

∞−

z→0

S0(z) = lim

lim

n=0 an(z +

z − c)

− n=0 an(z − c)

= lim

∞ an (z +

z − c)n − (z − c)n =

z→0 n=0

∞ a

lim

(z +

z − c)n − (z − c)n

∞ a

−

c)n

= n=0

z→0

= n=0

∞

−

c)n−1 =

−

c)m,

n (z

m+1

(m + 1)(z

m=n−1

n=0

m=0

R =

lim

= R.

m→∞

p(m + 1)|am+1|

m→∞ p|an|

2.5Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана

Теорема 1 (Тейлора).

f O UR(c) z UR(c),

∞

f(z) = P an(z − c)n,

n=0

1 I

f(z)

an = 2πi (z − c)n+1 dz

2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана							43
Доказательство.
ρ = {\|z − c\| = ρ < R}, f(z) O		.
	Uρ(c)		1		I	f(ξ)
По интегральной формуле Коши z Uρ(c)			f(z) =						dξ
				2πi		ξ	−	z
				ρ+

z − c

= q

< 1,

ξ − c

| |

ξ − z

(ξ

− c) − (z − c)

ξ − c · 1 −

ξ−−c

∞

−

= n=0

−

c n=0

−

(ξ

−

c)n+1

ряд по отрицательным степеням

(ξ

−

по

теореме Коши-Адамара равномерно

сходится, при |z−c| > r1

> r = |z−c|,

r = nlim

|a−n|

= nlim

|z − c|n =

→∞

−

и, следовательно, может быть

Замечание. Теоремы, аналогичные 4, 5, 6, 7 верны для рядов по отрицательным степеням.

f(ξ)

∞

c)n

f(z) =

dξ =

f(ξ) n=0

−

dξ =

2πi

−

2πi

(ξ

c)n+1

ρ+

−

∞

f(ξ)

dξ

c)n

∞ an(z

c)n

2πi I

(ξ

n+1

−

n=0

−

n=0

ρ+

}

Следствие 1 (Неравенство Коши).

f O UR(c) , z ρ |f(z)| 6 M |an| 6

ρn

Доказательство.

f(z)

sup

f(z)

2πρ =

2πi I

n+1

−

2πi z ρ

−

ρ+

· 2πρ =

2π

ρn+1

ρn

44 Глава 2. Основные свойства аналитических функций

Следствие 2 (Теорема Лиувилля).

	O(C). Если
f	O(C). Если	f(z) 6 M, то f(z) = const.
		M

Доказательство. ρ → ∞ |an| 6 ρn n > 0, |an| = 0, an = 0

∞

f(z) = P an(z − c)n = a0 = const.

n=0

Теорема 2 (Теорема единственности разложения в ряд Тейлора).

		∞
		X
f O UR(c) !f(z) =		an(z − c)n

n=0

Доказательство. Степенной ряд почленно дифференцируем внутри круга равномерной сходимости |z − c| 6 ρ < R,

∞

f(z) = P an(z − c)n,

n=0

∞

f0(z) = P n an(z − c)n−1,

n=0

∞

f00(z) = P n(n − 1)an(z − c)n−2,

n=0

· · · · · ·

∞

f(k)(z) = P n(n − 1) · · · (n − k + 1)(z − c)n−kan,

n=0

f(k)(c) = k(k − 1) · · · 2 · 1 · ak.

fn(c)

! an = n!

f(c)	= an
f0(c)	= 1 · a1,
f00(c)	= 2 · 1 · a2,

Следствие 1. f DC UR(c) f DC∞ UR(c)

Следствие 2

(Интеграл типа Коши).

f ξ

fn(c) =

2πi! I+

( )

dξ

(ξ − c)n+1

Доказательство.

fn c

I+

f(z)

I+

f(z)

an =

( )

dz fn(c) =

2πi

(z − c)n+1

2πi

(z − c)n+1

2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана

Теорема 3 (Лорана). f O(K),

K = {r < |z − c| < R} z K

∞

a−n

f(z) = n=

an(z − c) = n=0 an(z − c) + n=1

−∞

(z − c)n

}

f(z)

ряда

правильная часть

главная часть

		I+		Лорана	ряда Лорана
				Лорана
an =				dz
an =	2πi		(z − c)n+1	dz

Доказательство.

ρ = ρ1 + ρ2 , f O Kρ z Kρ,

ξ)

f(z) =

(

dξ.

2πi

−

ρ+

ρ = {r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R}

Для ξ ρ1 ,

ξ − c

= |q| < 1,

z =

ξ − c!

(ξ

−c)n+1,

z c

∞

z c

∞

c)n

−

n=0

−

n=0

−

Для

ρ2

ξ − c

= q

< 1,

− 1

z − c

1 − zξ−−cc

z − c

− z

(ξ − c) − (z − c)

− 1

∞

ξ − c

∞

(ξ − c)n

∞

(ξ − c)m−1

− n=0

= z

−

c n=0

−

c)n+1 m=n+1

− m=1 (z

−

c)m

Глава 2.

Основные свойства аналитических функций

f(z) =

f(ξ)

(

− n+1 dξ

∞

c)n

−

2πi

n=0

(ξ

−

ρ1

+ ρ2

−

ρ1 +

− I	∞ (ξ		c)m−1
	f(ξ) m=1	−
		(z		c)m
ρ2 −	X	−

dξ =

∞	1	I			f(ξ)		dξ (z	−	c)n+
∞				(ξ	n+1		dξ (z		c)n+
n=0	2πi		+	(ξ	−	c)
X	ρ1		+		−

−1

f(ξ)

dξ (z

−

c)n =

∞

an(z

−

c)n,

2πi

n+1

(ξ − c)

−

f(ξ)

−∞

= m

an =

dξ

2πi

(ξ

−

c)n+1

ρ+

2.6Нули и изолированные особые точки аналитических функций

Определение 1 (Нуль ФКП). f : Z → W, c Z,

•c нуль функции f(z) : f(c) = 0, f(z) 6≡0

•c изолированный нуль f(z) : f(c) = 0, U˙ (c) : z U˙ (c) f(z) 6= 0

•f O U(c) , c нуль порядка k функции f(z) :

f(c) = f0(c) =	· · ·	= f(k−1)(c) = 0, f(k)(c) = 0.		Друими словами,
			6
порядок нуля – это порядок первой ненулевой производной в точке c.
Теорема 1 (О строении аналитической функции
в окрестности нуля). Пусть f O U(c) ,			с – нуль порядка k f(z).

Тогда !ϕ(z) O U(c) , ϕ(c) 6= 0, z U(c) f(z) = (z − c)kϕ(z).

Доказательство. f(z) = a0 + a1(z −c) + a2(z −c)2 + · · ·+ ak(z −c)k + · · · .

Т.к. f(c) = f0(c) = · · · = f(k−1)(c) = 0, то a0, a1, . . . , ak−1 = 0

Т.к. f(k)(c) 6= 0, то ak 6= 0 и f(z) = (z − c)k(ak + ak+1(z − c) + · · ·)

| {z }

ϕ(z)

ϕ(z) = ak + ak+1(z − c) + · · · ряд Тейлора другой аналитической функции, и ϕ(c) = ak 6= 0 Т.е. f(z) = (z − c)kϕ(z)

2.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций										47
Пусть k1 6= k,			ϕ1(z) = ϕ(z) и f(z) = (z−c)k1 ϕ1(z),				(z−c)k1 ϕ1(z) =
= (z	−	c)kϕ(z), ϕ(z) = (z		−	c)k1−kϕ	(z), ϕ(c) = 0,	но	ϕ	(c) = 0
					1	6		1	6

k1 − k = 0 или k1 = k. Отсюда, ϕ(z) = ϕ1(z)

Замечание. Нули аналитических функций могут быть только изолированными, либо накапливаться на границе аналитичности.

Определение 2 (Изолированная особая точка ФКП).

особая точка f(z) : f 6 O(c)					˙		U(c) Z,		c – изолированная
	Пусть f(z) : Z → W,			f O U(c) ,			U(c) Z,		c – изолированная


	Классификация изолированных особых точек (ИОТ)

	z c		,	6 ∞			, =	∞	@
	lim f(z)		,	=			, =
	→
	Тип ИОТ	c – устранимая ИОТ				c – ИОТ типа			c – СОТ (Сущ.
						полюс			Особая Точка )

Теорема 2 (Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ).

с – устранимая ИОТ f(z) ряд Лорана f(z) в окрестности U(c) не содержит главной части.

lim f(z) =

f(z)

| 6

n| 6

ρn

Доказательство. z

6 ∞

→

При n < 0

|an| 6 M · ρ|n|,

ρ → 0 an = 0

При n > 0

|an| =6 0,

f(z) =

∞

0 < |z − c| < ρ

=0 an(z − c)n,

Теорема 3 (Необходимое и достаточное условие полюса).

c – ИОТ типа полюс

f z

) c – устранимая ИОТ;

g z

, lim g(z)= 0

(

) =

z→c

f(z)

lim f(z) =

lim

= 0

Доказательство. z

∞ z c f(z)

→

Определение 3 (Порядок полюса). c – ИОТ типа полюс функции

(

1/f(z), при z 6= c

f(z) порядка k : c – нуль порядка k функции g(z) =

0, при z = c

Т.о. доопределяем функцию в нуле.

Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие полюса порядка k). c – полюс порядка k f(z) ряд Лорана функции f(z) в окрестности

U(c) имеет главную часть с членами до (−k)-го порядка включительно.

48	Глава 2. Основные свойства аналитических функций
	(	)		k		g(z) =	1/f(z), z 6= c
Доказательство.			c – нуль порядка		ф-ии		(0,	z = c

g(z) O U(c) , g(z) = b0+b1(z−c)+b2(z−c)2+· · ·+bk(z−c)k +· · · .

= · · ·

= b

k−1

= 0,

= 0

k 6

g(z) = (z − c)

ϕ(z), ϕ(c) 6= 0, ϕ(z) = bk + bk+1(z − c) + · · · .

∞

f(z) =

−

c)k

· ϕ(z) =

−

c)k ak+n(z − c)n =

n=0

a−k+1

a−k

+ · · · + a0

+ · · · .

(z − c)k

(z − c)k−1

}

главная часть

( ) f(z) =

a−k

a−k+1

+ · · · + a0

+ a1(z − c) + · · · =

(z − c)k

(z − c)k−1

∞

−

f(z) = (z − c)kϕ(z),

c)k

a−k+n(z − c)k,

n=0

6= 0, a−k 6= 0.

ϕ(z) =

, ϕ(c) =

∞

– нуль

n=0 a−k+n(z − c)n

−k

порядка k функции g(z), следовательно c – полюс порядка k

функции f(z).

Теорема 5 (Необходимое и достаточное условие существенно ИОТ). c – существенно ИОТ ряд Лорана f(z) в U˙ (c) содержит бесконечное число членов в главной части.

Доказательство. Доказывается в обе стороны от противного, используя теоремы 3, 4.

2.7Вычеты ФКП

Определение 1 (Вычет функции). f : Z → W,							c Z – ИОТ,
( ) U( )				1	I	( )

			z=c	2πi			˙
	˙ c		Res f(z) :=	+		f z dz,
f z f O		,
где – любой контур, охватывающий точку c,							U(c)
Замечание.

1. Определение 1 не имеет смысла, если c не явл. ИОТ, Res f(z) = 0

2.7. Вычеты ФКП

2. = −

+ ADB

интегралов

3. an = 2πi

		, 2πi =			dz	Вычет – нормированная разность
		, 2πi =			z−c	Вычет – нормированная разность
AEB				+			особую точку с разных сторон.
поR		кривым, обходящимH					особую точку с разных сторон.
		f(z)					˙
		n+1	dz – коэффициент ряда Лорана в U(c).
	(z − c)

−

−1 =

f(z)

z=c

−1

2πi

H+

n =

Res f(z) = a

Теорема 1 (Вычисление вычитов). c – ИОТ функции f(z)

– устранимая ИОТ

Res f(z) = 0.

(

) z=c

f(z) (k = 1)

Res f(z) = lim f(z)(z

−

c) .

– простой полюс

ϕ(z)

z=c

z→c

c – простой полюс f(z) =

где ϕ(c) 6= 0, ψ(c) = 0

ψ(z)

ϕ(z) ϕ(z)

Res f(z) = Res

z=c

z=c ψ(z)

ψ0(z)

c – полюс порядка k f(z)

z=c

z→c

dk−1

−

(k − 1)!

dzk−1h

Res f(z) =

lim

f(z)(z

c)k .

– существенная ИОТ

Res f(z) = a

( ) z=c

−1

Доказательство. 5. очевидно (смотри замечание к 1)

1. c – УОТ f(z) ряд Лорана не содержит главной части

a−1 = 0 Res f(z) = 0

z=c

4.,2. c – полюс порядка k

ряд Лорана содержит в главной части

члены до (−k) включительно.

f(z) =

a−k

a−k+1

+ · · · +

a−1

+ a0 + a1(z − c) + · · · .

(z − c)k

(z − c)k−1

(z − c)

f(z)(z −c)k = a−k + a−k+1(z −c) + · · ·+ a1(z −c)k−1 + a0(z −c)k + · · · .

dk−1

−

2 (k + 1)!

f(z)(z

= a

1(k

1)! + a0(z

+ a1(z

1! · 2!

dzk−dk−1

−

lim

f(z)(z

c)k

= a

1)!

z→c dzk−1

−

−1

−

dk−1

c)k

lim

f(z)(z

−

−1 = (k −

1)! z→c dzk−1

Глава 2.

Основные свойства аналитических функций

3. f(z) =

ϕ(z)

, ψ(c) = 0, ϕ(c) 6= 0

ψ(z)

z→c

ψ(z) ψ(c)

ψ0(c)

z=c ψ(z) = z→c

ψ(z) −

ϕ(z)

2 Res

lim

= lim

−

Теорема 2 (Основная теорема о вычитах).

Т.е.

–

O Z \ {c1, c2, . . . , cm} .

c1,

c2, . . . , cm

ИОТ f(z) .

–

граница

положительно

ориентированная.

Следовательно,

j=1 z=cj

Res f(z)

f(z) dz = 2πi

1 2 · · · m – положительно

Доказательство. f O Z\ =1 U(cj) ,

ориентированный составной контур. Следовательно,

f(z) dz = 0

f(z) dz + I

f(z) dz + · · · + I

1 ··· m

f(z) dz = 0

1−

2−

m−

f(z) dz

I f(z) dz = 2πi 2πi I f(z) dz + 2πi I

f(z) dz + · · · + 2πi

· · ·

I+

f(z) dz = 2πi

z=c1

z=c2

z=cm

Res f(z) + Res f(z) +

+ Res f(z)

6 ¯

Замечание. f(z) может иметь ещё особые точки Z. Их вычеты не входят в сумму правой части формулы.

2.8Вычеты в бесконечно удалённых особых точках

Определение 1 (Изолированная бесконечно удалённая точка). f : C → C c = ∞ – изолированная бесконечно удалённая точка :

f(z) O U(∞) т.е. M > 0 : z M < |z| < ∞, f O(z) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
24.07.2017221.7 Кб67tfkp(kratko).doc
#
24.07.2017883.39 Кб91ТФКП лекции Гурина Т.А..pdf