П2

Практическое занятие 2.6

Расчет на устойчивость сжатых стержней при помощи коэффициентов уменьшения допускаемого напряжения

В расчетной формуле проектировочного расчета на устойчивость , имеются две неизвестные величины – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения и искомая площадь поперечного сечения . Поэтому при подборе сечений приходится пользоваться методом последовательных приближений. Первоначально задаются коэффициентом уменьшения допускаемого напряжения и определяют требуемую площадь поперечного сечения. Далее определяют гибкость стержня и соответствующий ей коэффициент уменьшения допускаемого напряжения, который определяется по таблице 22 на странице 574 (Сопротивление материалов). Под редакцией Писаренко Г. С. :Вища шк., 1986. 775 с.). При отличии фактического от первоначально принятого, проводят следующее приближение, принимая следующего приближения, как среднее по величине значение между первоначально принятым и фактически определенным.

Рассмотрим следующий пример расчета.

Стальной стержень длиной сжимается силой . Определить размеры поперечного сечения, показанного на рис. 1, при допускаемом напряжении на простое сжатие . Способ крепления стержня показан на рис. 1.

При подборе сечения последовательным приближением, возможно, придется несколько раз определять минимальный радиус инерции. Упростим вычисления, выражая минимальный радиус инерции через площадь поперечного сечения.

Площадь сечения определим как сумму площади квадрата и отрицательной площади двух круглых отверстий

;;

Минимальный радиус инерции определяются по формуле

Координатные оси и являются главными центральными осями инерции составного сечения, так как центральная ось является осью симметрии составного сечения. Определим осевой момент инерции как разницу осевого момента инерции квадрата и двух круглых отверстий относительно осей и .

Ось является главной центральной осью, как для квадрата, так и двух круглых отверстий. Осевой момент инерции квадрата относительно осей и будет равен:

Осевой момент двух круглых отверстий относительно оси :

Относительно оси осевой момент круглых отверстий определим как осевой момент относительно оси, параллельной главной центральной оси.

где - осевой момент инерции одного круглого отверстия относительно его главной центральной оси инерции .

- расстояние между параллельными осями и .

- площадь одного круглого отверстия.

Осевой момент составного сечения относительно оси :

Осевой момент составного сечения относительно оси :

Минимальный осевой момент инерции

Радиус инерции

Выполняем первое приближение. Принимаем

Гибкость стержня

Из таблицы 22 на странице 574 (Сопротивление материалов. Под редакцией Писаренко Г. С. :Вища шк., 1986. 775 с.) для полученной гибкости определяем коэффициент уменьшения допускаемого напряжения.

Перейдем ко второму приближению

Необходимая площадь поперечного сечения

Коэффициент уменьшения допускаемого напряжения.

Принимаем для третьего приближения

Коэффициент уменьшения допускаемого напряжения.

Вычисляем напряжение

Окончательно принимаем

При выполнении задания, в некоторых случаях, может быть получена гибкость, значение которой превышает 200.

В данных случаях определяют следующим образом.

Очевидно, что данная гибкость позволяет применять как формулу Эйлера, так и гиперболическую зависимость критического напряжения от гибкости (гиперболу Эйлера)

Допускаемое напряжение на устойчивость

,

где - коэффициент запаса устойчивости; для сталей - , причем, чем больше , тем меньше . Принимаем .

Допускаемое напряжение через коэффициент выражено как

Учитывая выше сказанное, можно записать

или

Подставляя значение гибкости в зависимость

,

определяется фактический коэффициент уменьшения допускаемого напряжения.