Добавил:
proza.ru http://www.proza.ru/avtor/lanaserova Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Плоские фермы

.pdf
Скачиваний:
62
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
1.35 Mб
Скачать

 

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм

Сайт автора http://mechanika.org.ru

 

Далее загружают шпренгели в промежуточных узлах местной на-

грузкой и, считая, что они имеют жесткие опоры в узлах основ-

ной фермы, определяют усилия в элементах дополнительной фер-

мы (рисунок 1.26, â). Усилия в общих стержнях основной фермы

и шпренгелей определяют алгебраическим (с учетом знака) сум-

мированием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В шпренгельной ферме на 10–15% изменятся усилия в стерж-

нях третьей группы (принадлежащих одновременно основной

ферме и шпренгелю). Уменьшатся расчетные длины элементов

грузового пояса и раскосов, что особенно важно для повышения

устойчивости сжатых элементов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Порядок

 

построения

à)

 

 

 

 

 

 

 

 

линий влияния аналогичен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядку

вычисления уси-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëèé

îò

неподвижной

íà-

 

 

 

 

2

 

5

 

 

грузки. Линии

влияния в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стержнях основной

фермы

 

 

 

1

4

3

7

6

 

строятся как для фермы с

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

F

 

простой

решеткой;

линии

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

влияния

 

â

стержнях

á)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шпренгелей – как для вы-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

резанной двухопорной фер-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мочки;

линии

влияния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

усилий

стержней,

общих

 

 

0,5F

 

 

 

0,5F

 

äëÿ

основной

фермы

è

 

 

 

2F

 

 

 

 

 

 

 

шпренгеля,

определяются

 

 

2

 

 

 

 

 

 

алгебраическим суммиро- â)

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ванием

ординат

линий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

влияния,

построенных

â

 

1

4

3

 

 

3

7

6

основной

ферме

áåç

учета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шпренгеля и в вырезанном

 

 

F

 

 

 

 

F

 

шпренгеле.

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.26

 

 

1.9 Кинематический метод построения линий влияния

Как и в любой стержневой системе, для вычисления усилий в стержнях фермы при подвижной и неподвижной нагрузках можно использовать кинематический метод. Он основан на принципе возможных перемещений и изложен, например, в [5].

Рассмотрим последовательность построения линий влияния продольных сил этим методом:

1) необходимо отбросить связь (разрезать стержень фермы), соответствующую рассматриваемому усилию, превратив ферму в механизм с одной степенью свободы;

31

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

2)полученному механизму следует сообщить единичное перемещение по направлению продольной силы в отброшенном стержне;

3)эпюра вертикальных перемещений узлов грузового пояса фермы с отброшенным стержнем по форме будет совпадать с линией влияния рассматриваемого усилия.

Перемещения узлов считаются малыми. В соответствии с этим можно пренебречь горизонтальными перемещениями и принять, что узлы смещаются только по вертикали – вверх или вниз.

Рассмотрим статически определимую балочную ферму с параллельными поясами (рисунок 1.27, à).

Разрежем в ферме один стержень, например, 3–4', получим механизм с одной степенью свободы (рисунок 1.27, á). В левой и правой частях фермы выделим неизменяемые части механизма – диски I è II. Стержни поясов 3–4 и 3'–4' образуют «ползун», допускающий сдвиг дисков I è II. Задаем перемещение δ = 1 в направлении продольной силы в отброшенном стержне (взаимное сближение узлов 3 и 4'). Диски поворачиваются относительно опор, оставаясь параллельными друг другу. Очертание грузового пояса по форме будет совпадать с линией влияния усилия в рас-

êîñå N3–4'.

Далее разрежем в заданной ферме стержень 3–4 верхнего пояса (рисунок 1.27, â) и зададим перемещение δ = 1 как взаимное сближение узлов 3 и 4. Диски I è II соединены в узле 4', относительно которого и происходит их взаимный поворот. Очертание линии влияния N3–4 совпадает с очертанием грузового пояса.

Аналогично построим линию влияния продольной силы в стержне нижнего пояса N5'–6'. В результате взаимного сближения узлов 5' è 6' диски I è II поворачиваются (рисунок 1.27, ã), узел 5 поднимается вверх, что соответствует линии влияния N5'–6'.

Разрежем стойку 2–2' и зададим перемещение δ = 1 как взаимное сближение узлов 2 и 2' (рисунок 1.27, ä). Для полученного механизма с одной степенью свободы стержни 1–2 и 2–3 повора- чиваются, узел 2 опускается вниз. Очертание верхнего (грузового) пояса по форме совпадает с линией влияния продольной силы

в стойке N2–2'.

Заметим, что вычисление ординат линий влияния, построенных кинематическим методом, достаточно трудоемко. Особенно сложно найти ординаты для ферм с непараллельными поясами, со сложной решеткой. Поэтому чаще всего кинематический метод применяют для проверки линий влияния, построенных статиче- ским методом.

32

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм

Сайт автора http://mechanika.org.ru

à)

1

2

3

P=1

5

6

7

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

1'

 

 

 

 

 

7'

 

 

2'

3'

4'

5'

6'

 

á)

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

4'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'

 

 

 

 

Ë.â.N3-4'

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

Ë.â.N3-4

 

 

3'

4'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ã)

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5'

= 1

 

 

 

 

 

 

6'

 

 

 

 

 

 

 

 

Ë.â.N5'-6'

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

 

Ë.â.N2-2'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.27

 

 

 

33

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1 Расчет ферм способом вырезания узлов

ПРИМЕР 1. Äëÿ фермы на схеме (рисунок 2.1) требуется вычислить усилия во всех стержнях фермы способом вырезания узлов и построить эпюру продольных сил, приняв F1 = 300 êÍ, F2 = 200 êÍ.

Пронумеруем узлы фермы в порядке их вырезания таким образом, чтобы в вырезанном узле было не более двух неизвестных усилий.

Определим реакции опор. Для этого составим уравнения равновесия моментов относительно точек 0 и 7, предварительно направив ре-

акции вверх:

Mk0 = 0 , −F1d F1 2d F2 3d + V7 4d = 0 ,

k

V7 =

 

1

(3F1 + 3F2 )=

1

 

(3 300 + 3

200) =

 

1

1500 = 375 кН ;

4

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mk7 = 0 ,

 

V0 4d + F1 3d + F1 2d + F2d = 0 ,

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

=

 

1

(5F1 + F2 )=

 

1

(5

300 + 200) =

1

 

1700 = 425 кН .

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

2

4

F2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

0

 

 

7

 

 

 

1

 

3

5

V0

d

F1

V7

l=4d

Рисунок 2.1

Реакции опор положительны, значит, их направление совпадает с выбранным ранее. Выполним проверку:

Yk = V0 F1 F1 F2 + V7 = 425 − 300 − 300 − 200 + 375 = 0 .

k

34

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

Уравнение равновесия выполняется, следовательно, реакции опор вы- числены верно.

Для удобства вычисления определим угол α:

tg(α)= dd = 1 ,

отсюда α = 45°.

Вычислим значения тригонометрических функций

sin(α)= sin(45°) = 0,707 ,

cos(α)= cos(45°) = 0,707 .

Вырежем узел 0. Внутренние усилия направим от узла (рисунок 2.2, à). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:

Yk = 0 ,

 

N0−2 sin(α)+ V0 = 0 ,

k

 

 

 

 

 

 

 

 

V0

425

 

N0−3

= −

 

= −

 

= −601 кН;

sin(α)

0,707

Xk = 0 ,

N0−1 + N0−2 cos(α)= 0 ,

k

 

 

 

 

 

 

N0−1 = −N0−2 cos(α)= −(− 601 0,707)= 425 кН.

Продольная сила

N0−2 < 0 , следовательно, стержень 0–2 сжат.

Усилие N0−1 > 0 – стержень растянут.

Вырежем узел 1 (рисунок 2.2, á). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:

Yk = 0 , N1−2 = 0 ;

k

Xk = 0 , N1−3 N1−0 = 0 , N1−3 = N1−0 = 425 кН . k

Стержень 1–3 растянут. Усилие в стойке 1–2 нулевое, значит, стержень не нагружен.

Вырежем узел 2 (рисунок 2.2, â). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:

Yk = 0 , − N2−0 sin(α)N2−1 N2−3 sin(α)F1 = 0 ,

k

N2−3 = N2−0 sin(α)(α)N2−1 F1 =

sin

= (− 601 0,707)− 0 − 300 = 177 кН; 0,707

35

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

Xk = 0 , N2−4 + N2−3 cos(α)N2−0 cos(α)= 0 ,

k

N2−4 = −N2−3 cos(α)+ N2−0 cos(α)=

= −177 0,707 −601 0,707= 425 кН.

Усилия в стержнях 2–3 и 2–4 положительны, следовательно, стержни растянуты.

a)

y

 

á)

y

N1-2

 

 

 

 

 

 

 

NA-2

 

 

 

 

A

x

N1-A

 

N1-3

 

NA-1

 

 

x

 

VA

 

 

1

 

 

 

 

 

y

 

ã)

y

 

 

 

 

 

â)

F1 2

N2-4

N3-2

 

N3-4

 

 

 

 

 

x

 

 

N2-A

 

N2-3

N3-1

 

N3-5

 

 

 

3

x

 

N2-1

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

 

ä)

y

 

å)

y

 

 

 

 

N4-2

N4-6

 

 

 

4

N5-4

 

N5-6

 

 

 

x

 

 

 

 

 

N5-3

 

 

 

N5-B

 

N4-3

N4-5

 

 

 

 

 

 

 

ç)

5

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ)

 

 

 

NB-6

 

 

 

F1 6

 

 

 

 

N6-4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

NB-5

 

 

 

B

N6-B

 

 

 

 

x

N6-5

VB

Рисунок 2.2

36

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм Сайт автора http://mechanika.org.ru

Вырежем узел 3 (рисунок 2.2, ã). Составим уравнения равновесия проекций сил:

Yk = 0 , N3−4 + N3−2 sin(α)F1 = 0 ,

k

N3−4 = F1 N3−2 sin(α)= 300 −177 0,707 = 175 кН ;

Xk = 0 , N3−5 + N3−1 N3−2 cos(α)= 0 , k

N3−5 = N3−1 + N3−2 cos(α)= 425 +177 0,707 = 550 кН.

Усилия в стержнях 3–4 и 3–5 положительны, следовательно, стержни испытывают растяжение.

Вырежем узел 4 (рисунок 2.2, ä). Составим уравнения равновесия проекций сил на координатные оси:

Yk = 0 ,

N4−3 N4−5 sin(α)= 0 ,

k

 

 

 

 

 

N4−3

175

= −247 кН;

N4−5 = −

 

= −

 

sin(α)

0,707

Xk = 0 ,

N4−6 N4−2 + N4−5 cos(α)= 0 ,

k

 

 

 

 

N4−6 = N4−2 N4−5 cos(α)= −550 − (− 247 0,707)= −375 кН .

Продольные силы отрицательны, следовательно, стержни 4–5 и 4–6 сжаты.

Вырежем узел 5 (рисунок 2.2, å). Составим уравнения равновесия проекций сил на вертикальную и горизонтальную оси:

Yk = 0 , N5−6 + N5−4 sin(α)= 0 ,

k

N5−6 = −N5−4 sin(α)= −(− 274 0,707)= 175 кН ;

Xk = 0 , N5−7 N5−3 N5−4 cos(α)= 0 , k

N5−7 = N5−3 + N5−4 cos(α)= 550 − 247 0,707 = 375 кН .

Стержни растянуты, т. к. усилия положительны.

Вырежем узел 6 (рисунок 2.2, æ). В этом узле только одно неизвестное усилие N6−7 . Для его определения составим уравнение равновесия проекций сил на вертикальную ось:

Yk = 0 , − N6−5 N6−7 sin(α)F2 = 0 ,

k

37

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм

Сайт автора http://mechanika.org.ru

N6−7

=

N6−5 F2

=

−175 − 200

= −530

кН.

 

sin(α)

 

 

0,707

Уравнение проекций на горизонтальную ось используем в качест-

ве проверки:

 

 

 

N6−4 + N6−7 cos(α)= 0 ,

 

Xk

= 0 ,

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N6−4

 

− 375

 

 

 

N6−7 = cos(α) =

0,707 = −530 кН .

 

Стержень 6–7

ñæàò, ò. ê. N6−7

< 0 .

 

 

Вырежем узел 7 (рисунок 2.2, ç). Усилия в стержнях, примы-

кающих к этому узлу, известны, поэтому условия равновесия исполь-

зуем в качестве проверки правильности проведенных вычислений:

Yk = N7−6 sin(α)+ V7

= − 530 0,707 + 375 = 0 ;

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xk = − N7−5 N7−6 cos(α)= − 375 − (− 530 0,707)= 0 .

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия равновесия соблюдаются, следовательно, усилия в стерж-

нях найдены верно.

 

 

 

 

 

 

 

 

По полученным данным строим эпюру продольных сил в стерж-

нях фермы (рисунок 2.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

550

 

 

 

375

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

601

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

530

 

 

 

 

175

 

175

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

177

 

 

 

274

 

 

425

 

 

425

 

 

550

 

375

 

 

 

 

Рисунок 2.3

 

 

ПРИМЕР 2. Для консольной фермы, показанной на схеме (рисунок 2.4), требуется вычислить усилия во всех стержнях способом вырезания узлов и построить эпюру продольных сил, приняв F= 450 êÍ.

Вычислим значения синуса и косинуса заданного угла:

38

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм

Сайт автора http://mechanika.org.ru

sin(α)= sin(60°) =

3 = 0,866 ,

cos(α)= cos(60°) = 0,5 ,

 

2

 

 

 

tg(α) = tg(60°) = 3 = 1,732 ,

ctg(α) = ctg(60°) =

3 = 0,577 .

 

 

 

 

3

Из условий равновесия всей фермы определим реакции связи HA, HB,B VB.B

MkA = 0 , Fd + Fd + F 2d + F 3d HBd tg(α)= 0 ,

k

HB = 9F ctg(α)= 9 450

3

= 2339 кН;

 

 

 

 

 

 

3

 

MkB = 0 ,

 

 

Fd + Fd + F 2d + F 3d HAd tg(α)= 0 ,

k

 

 

 

 

 

 

HA = 9F ctg(α)= 9 450

3

= 2339 кН ;

 

 

 

 

 

 

3

 

Yk = 0 ,

VB F F F F F = 0 ,

k

 

 

 

 

 

 

 

 

VB = 5F = 5 450 = 2250 кН.

HA

 

 

A

F

F

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

HB

B

 

 

1

 

5

I

2

 

F

VB

d

F

F

 

 

 

 

 

 

 

l=3d

 

 

 

Рисунок 2.4

 

 

Вырежем узел 1 (рисунок 2.5, à). Спроецируем силы, действующие в узле, на оси координат

Yk = 0 , N1−3 sin(α)F = 0 ,

k

39

Леоненко Д. В. Расчет плоских ферм

Сайт автора http://mechanika.org.ru

 

 

 

 

 

F

 

450

= 520 кН ;

 

 

 

N1−3 = sin(α)

=

0,866

 

 

Xk

= 0 ,

N1−2 N1−3 cos(α)= 0 ,

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1−2 = −N1−3 cos(α)= −520 0,5 = −260 кН .

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

à)

N1-3

y

 

 

á)

 

 

N2-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1-2

 

 

 

 

 

 

N2-5

 

 

N2-1

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

â)

 

 

 

 

ã)

 

y

 

 

N3-4

 

3

F

 

x

N4-A

4

F

N4-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

N3-5

 

 

 

 

N3-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N3-2

y

 

 

N4-5

 

 

 

 

ä)

N5-A

N5-4

 

 

 

 

 

 

 

N5-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N5-B

 

 

 

N5-2

 

 

 

 

 

 

 

5

F

 

x

 

å)

 

y

 

 

 

æ)

 

 

 

 

 

NB-A

 

 

 

y

A

NA-4

 

 

 

 

 

 

 

 

HA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

HB

 

B

 

NB-5

 

 

 

 

NA-5

 

 

 

 

 

 

x

NA-B

 

 

 

 

VB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.5

 

 

40