Курсовая работа для гр 08-503 по спецкурсу Асимптотические методы

Распределение вариантов

Вариант I

Колебания балки с жёстко закрёпленными концами описываются уравнением краевыми условиями

ε 2 d 4u − d 2u = λ 2u dx4 dx2

u (0)= u (1)= u′(0)= u′(1)= 0

Определить разложение первого порядка при малых ε для u и λ .

Вариант II

Определить при малом ε разложение второго порядка (трёхчленное) для решения задачи

uɺɺ+ (δ + ε COS 2t )u = 0

u (0)= a, uɺ(0)= 0

Для каких значениях δ это разложение будет равномерным? Определить разложения второго порядка для нечётных решений, соответствующим переходным кривым уравнения, если δ близко к 1 или к 4.

Вариант III

Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стенками различной проницаемости может быть приведена к виду

f ′′′ + R ( ff ′′ − f ′2 )= c

f (0)= 1, f ′(0)= 0

f (1)= 1 − α , f ′(1)= 0

Показать, что при малом α справедливы соотношения

f = 1 + α A 2 (e− Rx + Rx −1)− R (1 − e− R )x2 + O (α 2 )

c= 2α R2 A(e− R −1)+ O (α 2 )

иопределить A .

Вариант IV

Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для периодического решения системы уравнений

uɺɺ+ u = ε (1 − z )uɺ

τ zɺ+ z = u 2

где τ -- постоянная.

Вариант V

Рассмотреть уравнение

uɺɺ+ ω02u = ε u 2 + k COS ωt

Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если:

(A) ω0 ≈ 2ω

(B) ω0 ≈ ω 2

Вариант VI

Рассмотреть уравнение

uɺɺ+ (δ + ε COS3 t )u = 0

Определить разложение второго порядка для первых трёх переходных кривых, используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера.

Вариант VII

Определить разложение первого порядка решений уравнения

uɺɺ+ λu = ε (SIN 2t + u 2 )u

удовлетворяющих условию u (t + 2π )≡ u (t ).

Вариант VIII

Рассмотреть задачу Коши

utt +uxx +uxxxx = ε u3

u (x, 0)= a COS kx, ut (x, 0)= 0

(а) Построить прямое разложение первого порядка.

(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, применив метод перенормировки.

(в) Определить разложение, пригодное для t = O (ε −1 ), используя метод растянутых параметров.

(г) Показать, что частота становится непригодной вблизи k =1.

(д) Удалить особенность, применив метод перенормировки к этой частоте. (е) Показать, что в результате получается ошибочное решение.

Вариант IX

Рассмотреть задачу

(1 +ε u )∂u + ∂u = 0 ∂x ∂y

u (x, 0)= εϕ (x )

(а) Определить прямое разложение первого порядка при ε 1 и исследовать его равномерность.

(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.

(в) Построить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить результат с п. (б).

Вариант X

Рассмотреть краевую задачу

ε y′′′ − y′ + y = 0

y (0)= α , y (1)= β , y′(1)= γ

(а) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характеризуется преобразованиями растяжения

η = x , ζ = 1 − x

ε ε

(б) Определить равномерно пригодное разложение второго порядка, используя метод сращивания асимптотических разложений.

(в) Определить разложение второго порядка, используя метод составных разложений и полагая

y = F (x;ε )+ G (η;ε )+ H (ζ ;ε )

где G → 0 при η → ∞ и H → 0 при ζ → ∞ .

Вариант XI

Рассмотреть краевую задачу

ε y′′ + a (x ) y′ + y 2 = 0

y (0)= α , y (1)= β

(а) Определить одночленное разложение решения, используя метод сращивания асимптотических разложений.

(б) Определить одночленное разложение решения, используя метод составных разложений.

Рассмотреть два случая: 1) a (x ) > 0, x [0,1] и 2) a (x ) < 0, x [0,1].

Вариант XII

Определить равномерно пригодные разложения первого порядка решения задачи

ε y′′ ± yy′ − y = 0

y (0)= α , y (1)= β

используя метод сращивания асимптотических разложений и метод составных разложений.

Вариант XIII

Рассмотреть уравнение Матьё

uɺɺ+ (δ + ε COS 2t )u = 0

Определить равномерно пригодные разложения второго порядка, используя:

A) Методику Крылова-Боголюбова;

б) Обобщенный метод усреднения;

в) Преобразования Ли.

Вариант XIV

Рассмотреть задачу о качающейся пружине с демпфированием:

преобразования Ли, определить равномерные разложения второго порядка для случаев (A) ω1 ≈ 2ω2 и (B) ω1 ≈ 3ω2 .