_portal_Natural_Vkdpu_2009_4_2_PDF_4_2009_ch2_36

Введение. Излагается применение циклических ссылок MS Excel при решении алгебраических уравнений высшего порядка, подробно рассмотрен конкретный пример с анализом проблемы сходимости. Известно, что найти аналитическое решение алгебраических уравнений пятой степени и выше невозможно, т.е. невозможно выразить его корни через коэффициенты, используя арифметические действия и операцию извлечения корня. В этом случае говорят, что уравнение не разрешимо в радикалах, и его решение осуществляют в численном виде, используя либо языки программирования или офисные программы, такие как MS Excel, не требующие специального образования в области программирования и прикладной математики.

Анализ предыдущих исследований. В настоя-

щее время возможности электронных таблиц, установленных на персональных компьютерах, значительно возросли. С помощью MS Excel можно справиться с большей частью повседневных инженерных задач. Экономисты найдут для себя полезными многие встроенные функции. Однако до настоящего времени возможности циклических ссылок MS Excel не исследованы.

Цель работы. Осуществить исследования, позволяющие реализовать дополнительные возможности MS Excel и расширить круг задач, который можно реализовать с помощью этой программы. Исследовать возможности применения циклических ссылок MS Excel для решения алгебраических уравнений высших степеней. Предложить метод

решения и показать на конкретном примере реализацию этого метода.

Материал и результаты исследования.

Циклическая ссылка (circular reference) – это формула, которая зависит от своего собственного значения. Такая ссылка возникает в случае, когда формула ссылается на ячейку, в которую она занесена (прямая циклическая ссылка). Косвенная циклическая ссылка возникает, когда формула, записанная в ячейку, ссылается на вторую ячейку с формулой, которая ссылается на первую ячейку. Эта связанная цепочка может охватывать несколько ячеек.

Обычно появление циклической ссылки Excel воспринимает как ошибку и отображает на экране соответствующее сообщение. Однако умышленные циклические ссылки могут оказаться полезными и вводиться преднамеренно для выполнения определенных задач. Например, правильно заданные циклические ссылки могут выступать функциональным эквивалентом циклических структур, используемых в языках программирования. При этом использование циклических ссылок не требует знаний программирования.

Применение циклических ссылок для решения итерационных задач. По умолчанию Excel не про-

изводит итерационные вычисления. Для этого следует установить соответствующий режим. Чтобы активизировать режим итераций требуется выпол-

нить команду Сервис Параметры. Вкладка Вычис-

ления диалогового окна Параметры содержит три

группы параметров, относящихся к вычислению циклических ссылок:

1.Флажок Итерации. Для организации циклических ссылок необходимо установить этот флажок.

2.Поле Предельное число итераций (Maximum Iterations) определяет максимальное число итера-

ций, производимых Excel.

3. Поле Относительная погрешность

(Maximum Change) определяет, когда заканчиваются итерации.

Если установлен флажок Итерации, Excel принимает по умолчанию Предельное число итераций,

равным 100, и в поле Относительная погрешность

задает значение 0,001. Таким образом, Excel выполняет пересчет до 100 раз или пока изменение значений между итерациями не станет меньше 0,001. Эти параметры можно изменить. Для получения более точного результата следует уменьшить значение допустимой погрешности. Если после выполнения 100 итераций результат не сходится к одному значению, можно увеличить их число. Однако данное значение не может быть более 32767.

После нажатия кнопки ОК следует выход из диалогового окна Параметры, и программа Excel готова выполнить итерационные вычисления с циклической ссылкой.

Вычисления в Excel могут осуществляться в автоматическом или ручном режимах. Автоматический режим вычислений установлен по умолчанию. Иногда возникает необходимость управлять процессом вычисления. В этом случае нужно установить ручной режим вычислений. Для этого следует установить переключатель Вручную на вкладке Вы-

числения диалогового окна Параметры.

В ручном режиме Excel будет выполнять пересчет формул только тогда, когда будет явно подана такая команда. Для этого следует нажать клавишу F9 или кнопку Вычислить. При этом, Excel пересчитывает формулы во всех открытых рабочих книгах. При нажатии сочетания клавиш <Shift + F9> или кнопки Пересчет листа Excel пересчитывает только активный лист.

После предварительного ознакомления с организацией циклических ссылок, рассмотрим принцип работы метода простой итерации. Метод простой итерации является одним из важнейших способов численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений [2].

Сущность метода простой итерации заключает-

В итерационном методе нужно, чтобы пользователь ввел начальное приближение корня x0, которое подставляется в правую часть уравнения (3). Механизм автоматического вычисления состоит в использовании вычисленного на предыдущем шаге значения в качестве предполагаемого для последующей итерации.

Если последовательность (3) сходящаяся, т.е. существует предел

(4)

х* = lim xi i → ∞

то этот предел х* является корнем уравнения

(1). Известно [4], что итерационный процесс (3) сходится, если

и чем меньше q, тем быстрее сходимость. Алгоритм метода простой итерации включает

два этапа:

1)отделение (локализация) корней;

2)уточнение корней.

Локализация корней представляет собой нахождение отрезков, на которых находится один корень. Для этого нужно протабулировать функцию f(x) уравнения (1) на некотором отрезке [a; b]. Возможно, что выбранный отрезок не будет включать все корни уравнения. Тогда следует построить график протабулированной функции. При необходимости, в соответствии с характером изменения функции, поменять интервал [a; b] исследования функции, а также шаг изменения аргумента. После этого либо на графике функции, либо в таблице табулирования функции найти отрезки, на которых функция меняет знак. За первое приближение корня x0 можно взять середину найденного отрезка.

Этап уточнения корней позволит найти их значения с заданной точностью. В нашем случае уточнение корней осуществляется с помощью циклических ссылок. Поиск корня продолжается до тех пор, пока не удастся найти такое x, при котором значение функции f(x) находится как можно ближе к нулю.

Приступим к практическому использованию циклических ссылок на примере решения алгебраического уравнения.

Пример. Задание: “Найти все действительные корни уравнения

Это уравнение вида (1), где f(x) =x 3 - 17x + 12. Для выполнения итераций перепишите заданное

уравнение так, чтобы в его левой части осталась только неизвестная переменная. Это можно записать двумя способами:

Аналогично, для (8)

Аналогично в ячейку Е3 введите формулу

=17*abs(17*A3–12 )^ (–2/ 3 )/3,

отображающую правую часть выражения (10), и скопируйте ее в диапазон Е3:Е23.

Из таблицы 1 следует, что условно сходимости

(5) удовлетворяет форма (7) для отрезка [ 0,5; 1 ] и

форма (8) для отрезков [-4,5; -4 ] и [ 3, 5; - 4 ]. 2.2 Активизируйте режим итераций.

Выполните команду меню Сервис – Параметры В диалоговом окне Параметры перейдите на вкладку Вычисления и установите флажок Итера-

ции.

Активизируйте ручной режим вычислений, установив переключатель Вручную.

Установите Предельное число итераций равное

1.

Убедитесь, что значение Относительная по-

грешность равно 0,001.

2.3 Уточнение корня х1=-4,2.

Уточнение осуществите в ручном режиме вычислений, используя форму (8). Для этого достаточно двух ячеек:

1)в ячейку А27 введите число (– 4,2), равное грубому приближению корня.

2)в ячейку В27 введите формулу

=(17*A27–12)^(1/3),

отображающую правую часть формы (8), и на-

жмите кнопку ОК.

3)В ячейку А27 введите формулу

=В27

и нажмите кнопку ОК. Осуществлена первая итерация.

4) Для продолжения итерационного процесса вновь выделите ячейку В27 и нажмите клавишу < F9>. Так как максимальное число итераций задано равным 1, нажатие клавиши <F9> приведет к выполнению лишь одного цикла вычислений. Нажмите клавишу <F9> столько раз, пока значения в ячейках А27 и В27 совпадут. После этого нажатие клавиши <F9> не приведет к существенным изменениям. В данном случае в ячейках A27 и В27 сохранится число (-4,439). Решение найдено, корнем заданного уравнения является х1 = – 4,439. Эту процедуру повторите для других корней.

2.4 Уточнение корня х2=0,8.

Вячейку С27 введите число 0,8 – грубое приближению корня.

Вячейку D27 введите формулу

=(C27^3+ 12)/ 17,

отображающую правую часть формы (7) и нажмите кнопку ОК.

Повторите пункты 3) и 4), используя данные ячеек С27 и D27. Уточненным значением корня будет число x1 = 0,729.

2.5 Уточнение корня x3= 3,7.

-В ячейку Е27 введите грубое приближение корня – число 3,7.

-В ячейку F27 введите формулу

=(17*E27–12)^ (1/ 3),

отображающую правую часть формы (8) и нажмите кнопку ОК.

- Повторите действия 3) и 4), используя данные ячеек Е27, F27.

В результате получится еще одно решение – ко-

рень х3= 7,310.

ІІІ. Анализ сходимости итерационного процес-

са. Получим снимок итерационного процесса – шаг за шагом отслеживая разность между двумя последовательными приближениями. Для этого создайте таблицу, отображающую значения предыдущих и последующих оценок корней.

Откройте следующий рабочий лист (команда Вставка —Лист).

Вячейки А3, С3, Е3 введите грубые приближе-

ния корней —числа (-4,2), (0,8), (3,7).

Вячейки В3, Д3, F3 введите соответствующие формулы простой итерации:

В3 : = (17*А3–12)^ (1/3);

D3 : = (С3^ 3 + 12) / 17;

F3 : = (17 * Е3-12)^ (1/3),

нажимая клавишу < Enter > при каждом вводе. Для продолжения итерационного процесса в ячейки А4, С4, Е4 введите соответственно форму-

лы :

нажимая клавишу <Enter > при каждом вводе. Скопируйте формулы ячеек А4, С4, Е4 и ячеек

В3, Д3, F3 вниз по таблице до 18-й строки, тем самым осуществив ряд итерационных уточнений корней. Результаты вычислений сведены в таблице Из которой следует, что в столбце В итерационный процесс сходится к решению на 11-ом шаге, в столбце D – на 5-ом, в столбце F – на 14-ом шаге. Обнаруженное различие в скорости сходимости объясняется тем, что на рассматриваемых отрезках

локализации корней, величина z′(x) , опреде-

ляющая сходимость итерационного процесса, существенно отличается. Её усредненное значение на отрезке [-4,5; -4 ] равна 0,30, на отрезке [0,5; 1] — 0,11 и на отрезке [ 3,5; 4 ] — 0,4. Утверждение –

чем меньше величина z′(x) , тем быстрее сходи-

мость, в полной мере подтверждается данными табл.2

Проведенный анализ позволяет сделать вывод: метод простой итерации, основанный на применении циклических ссылок Excel, позволяет просто и эффективно осуществлять численные решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Применение циклических ссылок Excel является также эффективным при решении научных, экономических и инженерных задач, для которых возможны итерационные методы. В частности, такой экономической задачей является вычисление чистой прибыли.