СМиНСК
.pdf16.Система канонических уравнений метода перемещений (СКУ МП).
17.Стандартные задачи для типовых элементов основной системы метода перемещений.
18.Свойства и способы определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов СКУ МП.
19.Определение внутренних усилий в заданной системе по найденным основным неизвестным метода перемещений. Промежуточные и окончательная проверки правильности решения.
20.Учет деформаций растяжения – сжатия элементов в расчетах СНС методом перемещений.
21.Расчет симметричных СНС методом перемещений. Группировка неизвестных.
22.Использование прямой и обратной симметрии внешних воздействий в расчетах симметричных СНС методом перемещений.
23.Теорема об определении реакций связей линейнодеформируемой системы через работу концевых усилий элементов и узловых нагрузок сооружений.
24.Определение перемещений в СНС от силовых воздействий.
25.Определение перемещений в СНС от температурных воздействий.
26.Определение перемещений в СНС от смещений связей.
39
Задача 10. Расчет надежности стержневой системы
Задание: Дана плоская статически определимая рама (рис. 8). За постоянную нагрузку принята равномерно распределенная нагрузка q; за временную – одновременно действующие сила F и момент M.
1.Выполнить предварительный детерминистический расчет системы:
а) построить эпюры внутренних усилий отдельно от постоянной и временной нагрузок;
б) получить и записать в виде выражений расчетные усилия – по одному для группы «1» горизонтальных стержней и группы «2» вертикальных стержней;
в) подобрать из условия прочности по нормальным напряжениям номер прокатного двутаврового профиля для стержней группы «1» и прямоугольного сечения (h × b) для стержней группы «2» при R = 210 МПа (перенапряжение не должно превышать 5 %).
2.Определить надежность системы по расчетным условиям безотказности – прочности двух опасных сечений (для стержней
групп «1» и «2» – см. п. 1б), записанным в виде σɶ(1) ≤σɶu; σɶ(2) ≤σɶu . Расчет выполнить в следующем порядке:
а) с применением метода статистической линеаризации определить вероятностные характеристики (математические ожидания и стандарты) случайных величин σɶ(1) , σɶ(2) – наибольших
нормальных напряжений в двух опасных сечениях, использовав полученные в п. 1б выражения усилий. В вероятностном расчете учесть стохастические свойства всех параметров системы (размеров конструкции и сечений ее элементов, нагрузок, физикомеханических характеристик материала) по данным, представленным ниже;
б) считая напряжения σɶ(1) , σɶ(2) нормально распределенными
случайными величинами, найти доверительные интервалы их значений с обеспеченностью 0,98;
в) вычислить характеристики безопасности по каждому из рассмотренных расчетных условий безотказности; по ним найти соответствующие значения вероятностей отказа и надежностей;
40
г) определить общую надежность системы по принятому двухкритериальному условию безотказности.
Исходные данные выбираются в соответствии с шифром из табл. 9.
Таблица 9
Первая цифра шифра |
a, м |
с, м |
Вторая цифра шифра |
q, кН/м |
h / b |
Третья цифра шифра |
M, кН·м |
F, кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,5 |
6 |
1 |
10 |
1,4 |
1 |
40 |
20 |
2 |
3,0 |
8 |
2 |
16 |
1,2 |
2 |
50 |
28 |
3 |
4,0 |
5 |
3 |
20 |
2,4 |
3 |
30 |
35 |
4 |
3,5 |
6 |
4 |
12 |
1,8 |
4 |
55 |
30 |
5 |
2,0 |
5 |
5 |
14 |
2,6 |
5 |
25 |
44 |
6 |
3,0 |
6 |
6 |
25 |
2,2 |
6 |
65 |
36 |
7 |
2,5 |
7 |
7 |
13 |
3,2 |
7 |
50 |
24 |
8 |
4,0 |
5 |
8 |
15 |
1,6 |
8 |
35 |
40 |
9 |
3,0 |
5 |
9 |
22 |
3,4 |
9 |
60 |
22 |
0 |
3,5 |
8 |
0 |
18 |
2,5 |
0 |
45 |
32 |
Кроме того, |
|
|
|
= a1 = a, |
|
2 = a2 = a, |
|
3 = a3 = 2a, |
|
= с ; |
||||||||||||||
a |
1 |
|
a |
a |
с |
|||||||||||||||||||
σ |
u = 300 МПа, Aσ = 0,1; для нагрузок Aq = 0,033; AF = AM = 0,1; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
hɶ = h ± 2 мм, b |
|
= b |
± 2 мм; |
∆W ≈ ±3,5 % , ∆I ≈ ±4 % , |
||||||||||||||||||||
для двутавровых |
|
|
профилей |
|||||||||||||||||||||
∆A ≈ ±3 % ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
||||||
a1 = a1 ± 1 см, a2 = a2 ± 1 см, a3 |
= a3 ± 1 см, c = c ± 1 см. |
|||||||||||||||||||||||
Примечания:
1.Стандарты параметров, описанных доверительными интервалами, вычислять по «правилу трех сигма».
2.Считать значения нагрузок, указанные в таблице исходных данных, наибольшими значениями из соответствующих доверительных интервалов.
3.При выполнении п. 2б и 2в использовать таблицы значений интеграла вероятностей (функции Лапласа) и/или коэффициентов Стьюдента.
41
1 |
2 |
q
M 
F
a1 a3 a2
c |
c |
q |
M |
|
2 |
F |
a |
|
|
a3 |
a1 |
3 |
4 |
q |
M |
M
a1 a3
5
q
a1 a3
7
M
a1 a2
c q
F
a2
M
c
F
a2
q
F
c
a3
c
F
a1 a2 a3
6
F |
|
|
|
|
M |
q |
|
c |
|
|
|
a1 |
a3 |
a2 |
8
M
2 |
|
|
|
a |
|
q |
|
|
F |
c |
|
|
|
|
|
a1 |
|
a3 |
|
Рис. 8
42
c 
a2 c
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 (продолжение)
43
17 |
18 |
q
F
a1 a2
19
F
q
a1 a2
c |
|
F |
M |
|
|
|
|
|
|
q |
M |
|
|
|
a3 |
a1 |
a3 |
|
||
20 |
M |
q |
c |
|
|
|
F |
|
M |
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
a3 |
|
|
a2 c
c
21 |
q |
22 |
|
|
|
2 |
|
a |
M |
c |
|
|
|
F |
F M
q
c
a1 a3
a3 a1 a2
23 |
24 |
qF
|
|
|
|
F |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
q |
c |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
Рис. 8 (окончание)
44
Вопросы для самопроверки по темам: «Основы метода конечных элементов», «Вероятностные расчеты
инадежность стержневых систем», «Основы оптимизационных расчетов и регулирования НДС систем»
1.Конечномерная постановка задачи определения НДС в методе конечных элементов (МКЭ).
2.Канонические уравнения МКЭ. Принципиальная схема решения задач в перемещениях.
3.Аналогия между уравнениями МКЭ и каноническими уравнениями метода перемещений.
4.Конечноэлементная расчетная схема сооружения. Понятие о матрице жесткости конечного элемента.
5.Связь между перемещениями узлов конечного элемента
иперемещениями узлов сооружения, между матрицами жесткости сооружения и конечных элементов.
6.Построение матрицы жесткости конечного элемента энергетическим способом.
7.Общий алгоритм расчета сооружения МКЭ. Определение расчетных узловых нагрузок. Учет условий закрепления.
8.Определение усилий и напряжений в заданном сооружении.
9.Понятия надежности и долговечности (качественное и количественное истолкование), отказа, безотказности. Взаимосвязь надежности и долговечности. Изменение надежности во времени.
10.Возможные пути управления надежностью и долговечностью сооружений и конструкций.
11.Основные задачи теории надежности и принципиальные пути их решения.
12.Основные виды и классификация случайных величин, влияющих на надежность и долговечность строительных конструкций.
13.Стохастическая природа основных видов случайных расчетных параметров строительных конструкций (воздействия, физико-механические характеристики материалов, геометрические параметры); общая характеристика их вероятностных свойств.
45
14.Функциональные и числовые статистические характеристики расчетных параметров.
15.Общий подход к оценке надежности с использованием понятий обобщенной нагрузки и обобщенной прочности. Зависимость обобщенного нагрузочного фактора и обобщенной характеристики собственных свойств системы от входных расчетных параметров.
16.Возможные критерии отказа строительных конструкций. Многокритериальные условия безотказности.
17.Основное обобщенное расчетное условие безотказности системы. Резерв работоспособности и его использование для расчета надежности.
18.Статистическая строительная механика, ее сущность и основные задачи (прямая, обратная, синтез стохастической системы, оптимизационная).
19.Особенности формирования вероятностной расчетной модели сооружения (конструкции).
20.Расчетные параметры конструкции как компоненты случайного вектора. Характеристики многомерной случайной величины.
21.Определение функциональных и численных характеристик случайного вектора выходных параметров в вероятностных расчетах конструкций через стохастические характеристики вектора входных параметров (понятие об аналитическом решении).
22.Основные прикладные методы вероятностных расчетов – метод статистической линеаризации и метод статистических испытаний (Монте-Карло), их сравнительный анализ, области рационального применения.
23.Формула метода статистической линеаризации для определения дисперсии случайной величины, являющейся функцией случайного вектора (общий вид и вариант для статистически независимых компонентов вектора аргументов).
24.Решение прямой задачи вероятностного расчета усилий, напряжений и перемещений конструкций методом статистической линеаризации. Формы представления результатов расчета.
46
25.Формулировка обратной задачи вероятностного расчета (модельные задачи). Особенности представления результатов решения обратной задачи.
26.Изменение во времени стохастических расчетных параметров системы. Временная зависимость вероятности отказа. Понятие о непосредственном учете времени в расчете надежности и долговечности сооружения, конструкции, элемента.
27.Случайные функции (процессы), их свойства.
28.Обобщенные прочность и нагрузка (нагрузочный фактор) как функции случайных векторов входных параметров, определение их свойств через вероятностные характеристики многомерных случайных величин.
29.Совместная плотность распределения обобщенной прочности и обобщенной нагрузки, ее использование для определения резерва работоспособности, вероятности отказа и надежности.
30.Характеристика безопасности, ее изменения в зависимости от изменений статистических характеристик различных групп входных параметров.
31.Вычисление вероятности отказа через характеристику безопасности: определение вероятности отказа в случае нормального распределения резерва работоспособности.
32.Постановка и алгоритм решения прямой задачи теории надежности для изгибаемой балки по прочностному критерию работоспособности.
33.Принципиальная схема решения обратной задачи теории надежности.
34.Понятие о сооружениях и строительных конструкциях как системах с различными видами соединений элементов (последовательным, параллельным, комбинированным).
35.Надежность и долговечность системы с последовательным соединением элементов. Формулы для вычисления надежности и долговечности системы по характеристикам надежности элементов.
47
36.Определение надежности и долговечности системы с параллельным соединением элементов. Сравнение показателей надежности и долговечности систем, отличающихся видом соединений элементов (параллельным или последовательным) при одинаковой надежности элементов.
37.Вычисление надежности и долговечности систем с комбинированным соединением элементов (параллельнопоследовательным, последовательно-параллельным).
38.Понятие о резервировании как средстве улучшения характеристик надежности, долговечности и живучести инженерных систем. Общее и раздельное резервирование.
39.Отражение понятий теории надежности в отечественных строительных нормах и правилах.
40.Оценка метода расчетных предельных состояний с позиций теории надежности. Понятие о нормировании показателей надежности и долговечности строительных систем.
41.Что такое целевая функция в задаче ОПК и какой смысл она может иметь?
42.Что такое параметры оптимизации и параметры состояния?
43.Какие условия могут использоваться в качестве ограничения в задачах оптимизации СК?
44.Каковы основные постановки и математические формулировки задач ОПК?
45.Понятие двойственной задачи ОПК.
46.Условно- и безусловно-экстремальные задачи оптимизации. Как применяется метод множителей Лагранжа для приведения условно-экстремальных задач к безус- ловно-экстремальным?
47.По каким признакам и как классифицируются методы решения задач оптимизации?
48.Каковы основные аналитические методы определения глобального минимума (максимума) целевой функции?
48