1. Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными вида:

;

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений.

Областью решений линейного неравенства является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая,соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух координатных полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.

АЛГОРИТМ

1. Построить множество допустимых решений. В общем случае оно представляет собой выпуклый многоугольник. Если ограничения в задаче несовместны, множество допустимых решений является пустым множеством, а задача поиска экстремума не имеет смысла.

2. Найти градиент целевой функции , построить его.

3. Провести линию уровня целевой функции, перпендикулярную градиенту.

4. Перемещать линию уровня параллельно самой себе в направлении , найти точку, в которой f достигает максимума (минимума).

5. Найти координаты , решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке оптимума, вычислить .

В случае непустого множества допустимых решений возможны три типовых ситуации:

1. задача имеет единственное решение (линия уровня касается множества допустимых решений в одной точке);

2. задача имеет бесконечное множество решений (линия уровня касается множества допустимых решений вдоль стороны многоугольника);

3. задача не имеет решения (множество допустимых решений не ограничено).

Пример 1. Решить задачу линейного программирования

;

Решение. Построим множество допустимых решений. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую , соответствующую ограничению (1). Находим, какая из двух полуплоскостей является областью решений неравенства. Так, прямая (1) не проходит через начало координат, подставляем координаты точки О (0, 0) в первое ограничение. Получаем верное строгое неравенство 0 > -2. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямые (2) – (4).

Рис. 1.

Нашли , провели линию уровня функции, перпендикулярно градиенту, передвигаем ее параллельно самой себе в направлении. Эта прямая проходит через точку Х* пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки Х*, решая систему. Получаем Х*(1, 3). Вычисляем.

Ответ: при Х* = (1, 3).

Задача линейного программирования не всегда задается в виде математической модели. Пример составления математической модели рассмотрен на примере транспортной задачи (п. 3).