2. Понятия о законах распределения одномерных случайных величин

Вид (закон) распределения случайной величины устанавливает связь между возможными значениями x_k этой случайной величины и соответствующими вероятностями (или плотностями вероятностей ) появления данной случайной величины x в её генеральной совокупности. Закон распределения может быть задан различными способами: в виде аналитического выражения, графически, либо в виде таблицы. Форма распределения случайной величины определяется её природой.

Используют две основные формы выражения закона распределения случайной величины: интегральную и дифференциальную.

Интегральная функция распределения , пример которой приведён на рисунке 1, для генеральной совокупности или её оценка для выборки показывают, какая доля статистической совокупности лежит левее данного конкретного значения x_j случайной величины x на её числовой оси, т.е. при x < x_j. Или для примера рисунка 1 – вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше x_j.

Для непрерывной случайной величины справедливо

1. F(x) ≥ 0, при x  R.

2. F(x_l) ≤ F(x_j), при l < j.

3. .

4. .

Из определения интегральной функции распределения следует, что вероятность P{x_j < x < x_l} попадания случайной величины x в интервал (x_j; x_l) может быть определена как

55\* MERGEFORMAT ()

Рисунок 1 – Пример интегральной функции плотности распределения вероятности

Дифференциальная функция распределения (функция плотности распределения вероятности) (x) есть производная от интегральной функции распределения F(x)

66\* MERGEFORMAT ()

Пример функции плотности распределения вероятности для графика рисунка 1 представлен на рисунке 2.

Перечислим основные свойства данной функции:

1. (x) ≥ 0, при x  R.

2. .

3. .

Рисунок 2 – Пример дифференциальной функции плотности распределения вероятности

Учитывая (5) и (6) можно записать

. 77\* MERGEFORMAT ()

Интервальный ряд распределения – это табличная (или графическая) форма выражения закона распределения, т.е. таблица (или график), где перечислены все k-е интервалы (k = 1, 2, … , K), охватывающие возможные(полученные) значения случайной переменной x, указаны границы этих интервалов и приведены вероятности p_k (или плотности вероятностей ) появления x в соответствующих интервалах. При изучении распределения вместо вероятностей p_k указывают их оценки: или . Другое название интервального ряда – гистограмма.

3. Построение гистограммы распределения случайной величины

Рекомендуется следующий порядок построения интервального ряда распределения:

1. По данным выборки объёмом N элементов вычисляют среднее значение случайной переменой x:

. 88\* MERGEFORMAT ()

2. Из элементов выборки находят минимальное x_min и максимальное x_max значения случайной величины x.

3. Оценивают число К интервалов (квантов), на которые надо разделить весь диапазон изменения случайной величины x:

. 99\* MERGEFORMAT ()

4. Оценивают ширину x интервалов:

1010\* MERGEFORMAT ()

Полученную величину допустимо округлить до удобного значения.

5. На числовой оси x от величины до величин x_max и x_min строят интервалы шириной δx, как показано на рисунке 3. Полученное количество интервалов К вследствие выполненных округлений может не совпадать с расчётным.

Рисунок 3 – Построение интервалов по числовой оси случайной величины x

6. Полученные числовые значения границ интервалов (x_k-1; x_k) заносят в таблицу и подсчитывают число N_k элементов, попавших в каждый k-ый интервал. Элементы, попавшие строго на границу делят пополам между интервалами, разделёнными границей. Если число таких элементов нечётное, то один элемент присваивают интервалу, находящемуся ближе к среднему значению случайной величины, а остальные – поровну между интервалами, разделёнными границей. Также возможно принять одну из границ (например, левую) всех интервалов закрытой, а другую – открытой, и осуществлять подсчёт N_k в соответствии с принятым условием. Числа N_k также заносят в таблицу.

7. Рассчитывают по (1) относительные частоты ν_k и заносят их в таблицу.

8. Вычисляют оценки плотностей вероятностей (плотностей относительных частот) по (4) и заносят их в таблицу.

9. По полученным данным строят графики или либо в виде гистограммы, либо в виде полигона.

Форма графиков функций F(x) и (x) определяются природой случайной величины. Некоторые законы распределения случайных величин хорошо изучены в теории вероятностей и математической статистике. Наиболее распространённым и типичным для массовых случайных явлений природы является нормальный закон Гаусса. Известны также законы распределения Пуассона, биноминальный, экспоненциальный и др. Некоторые из них применяются в теории оптимального эксперимента.

Аналитическое выражение кривой (x) нормального распределения Гаусса:

. 1111\* MERGEFORMAT ()

где M{x}  – математическое ожидание случайной величины x; ²{x} – генеральная дисперсия.