(5) Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.

Пространство называется эвклидовым если для любых двух векторов этого пространства определенно скалярное произведение.

Скалярным произведением 2-х векторов называется число, удовлетворяющее:

1. (x,y)=(y,x) коммутат.

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z) дистриб.

3. (ax,y)=a(x,y) ассоциат.

4. (x,x)>0 при x<>0

Два вектора называются коллинеарными если существует прямая, которой они параллельны.

Два вектора называются ортогональными если между ними прямой угол.

Базис называется ортонормированным, если любые два вектора этого базиса ортогональны и каждый вектор нормирован.

Вектор называется нормированным или единичным, если его модуль равен 1.

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор ^A: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f.Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

Теорема. Преобразование матрицы оператора ^A при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C −1 Ae C.

(1)

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y = ^Ax . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе f .

Тогда

	Ye = Ae · Xe
	Yf = Af · Xf.

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf.

Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.

(7) Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат. Преобразования прямоугольной декартовой системы координат (параллельный перенос осей координат, поворот координатных осей, параллельный перенос и поворот координатных осей). Полярная система координат на плоскости. Координаты точки в полярной системе координат. Формулы перехода от декартовых координат к полярным. Формулы обратного перехода. Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Координаты точки в этих системах. Формулы перехода от цилиндрических и сферических координат к декартовым координатам.

Декартова СК.

x - абсцисс, y – ординат, z – аппликат.

Параллельный сдвиг координатных осей

     Поворот координатных осей

     Параллельный сдвиг и поворот координат осей

Полярная система координат

x = rcos;       y = rsin;      x2 + y2 = r2

 Цилиндрическими координатами точки М называются  числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат

    h = z;         x = rcos;     y  = rsin;   cos = ;    sin = .

Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной

(6) Пространства и . Вектор в пространствах и и его геометрическое представление. Вектора коллинеарные, равные, противоположные. Нулевой и единичный векторы. Ортонормированный (стандартный) базис в пространствах и . Орты осей координат. Проекция вектора на ось. Координаты вектора в стандартном базисе. Разложение вектора по ортам осей координат. Действия с векторами (сложение, умножение на число) и их свойства. Геометрическая иллюстрация. Условие коллинеарности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение ортов осей координат. Скалярное произведение в координатной форме. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональные вектора. Условие ортогональности двух векторов. Проекция вектора на вектор. Физические приложения скалярного произведения векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение ортов осей координат. Векторное произведение в координатной форме. Геометрические и физические приложения векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Свойства смешанного произведения. Геометрические приложения смешанного произведения. Компланарные вектора. Условие компланарности трех векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо

на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Если ab и |a| b| , то

a b

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Два ненулевых вектора,

лежащие на параллельных прямых, называются противоположно направленными, если их концы лежат по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Векторное произведение коллинеарных векторов . Это — критерий коллинеарности двух векторов.

Любая точка плоскости также является вектором, в этом случае его называют нулевым

Суммой двух векторов а и b называется новый вектор c который обозначается

Для любых векторов и справедливы равенства:

(переместительный закон);

(сочетательный закон).

Произведением ненулевого вектора a на число k называется вектор b , длина которого равна |k| a| , причём векторы a и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k < 0

Ба́зис — множество линейно не зависемых векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Для любых чисел k, l и любых векторов a , b справедливы равенства:

1) kla kla(сочетательный закон);

2) k la ka la ( первый распределительный закон);

3) ka bka kb (второй распределительный закон)

Орт произвольного ненулевого вектора c — единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k. При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

[i j]=k ; [j k]=i ; [k i]=j .

Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.

Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a1+ y·а2+z· а3.

Обозначение: b={x, y, z}_B

Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Скалярным произведением 2-х векторов называется число, удовлетворяющее:

1. (x,y)=(y,x) коммутат.

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z) дистриб.

3. (ax,y)=a(x,y) ассоциат.

4. (x,x)>0 при x<>0

Координатная форма записи скалярного произведения.

Пусть в декартовой системе координат векторы a и b имеют координаты соответственно (x1;y1) и (x2;y2). Тогда

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то

Векторы из евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Механический смысл скалярного произведения: работа А на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы F на вектор перемещения S: A= F S

Векторные произведения координатных ортов i , j и k :

i i j j k k 0 ,

i j j i k ; j k k j i ; k i i k j .

векторное произведение в координатной форме

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов a и b равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b , т.е. S | a b |

Механический смысл векторного произведения: нахождение момента силы F, приложенной к точке М, относительно точки А, находится по формуле: m_A F= AM* F

Смешанным произведением векторов a , b и c называется скалярное произведение вектора a b на вектор c , т.е. (a b) c .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов параллельны (коллинеарны);

в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного () и скалярного () умножения, т.е. (a b) c a (bc).

В силу этого свойства смешанное произведение векторов a , b и c записывается в виде a b c .

3. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: a b c b c a c a b .

4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:

b a c a b c ; c b a a b c ; a c b a b c.

Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

(8) Линия на плоскости и ее уравнение. Нахождение уравнений некоторых линий. Прямая на плоскости и ее уравнения: векторное, общее, нормальное, каноническое, с угловым коэффициентом. Неполные уравнения прямой. Простейшие задачи на уравнение прямой линии (уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках на осях). Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (угол между двумя прямыми; условие параллельности двух прямых; условие перпендикулярности двух прямых; координаты точки пересечения двух прямых). Кривые второго порядка и их канонические уравнения. Исследование вида кривой по ее уравнению. Общее уравнение второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью преобразования координат. Понятие об инвариантах. Кривые эллиптического, гиперболического, параболического типов.

Векторное уравнение прямой:

[r-r₀,a]=0; a – направляющий вектор прямой, r₀ – радиус-вектор начальной точки прямой.

y=kx+b – уравнение с угловым коэффициентом

Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой

Полярное уравнение: r cos(φ – λ)=p

Нормальное уравнение: x∙cos λ + y ∙sin λ – p=0

Каноническое

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y-y0=k(x-x0­)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Уравнение прямой в отрезках:

Расстояние от точки до прямой:

Угол между двумя прямыми:

Взаимное расположение прямых:

1. параллельны: k1=k2;

2. Сливаются: k1=k2;

3. Перпендикулярны: k1k2=-1

4. Пересекаются:

Уравнение линий второго порядка: Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

(9) Плоскость и ее уравнения (векторное, общее, нормальное). Неполные уравнения плоскости. Простейшие задачи на уравнение плоскости (уравнение плоскости, проходящей через данную точку; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки; уравнение плоскости в отрезках на осях). Расстояние от точки до плоскости; расстояние между параллельными плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей (угол между двумя плоскостями; условие параллельности двух плоскостей; условие перпендикулярности двух плоскостей).

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю уравнение наз. неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0;

нормирующий множитель: (знаки μ и D противоположны).

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N(A,B,C) : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0;

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

Уравнение плоскости в отрезках:

Расстояние от точки до плоскости:

Расстояние между параллельными плоскостями

Угол между двумя плоскостями:

(10)

Прямая линия в пространстве и ее уравнения (общие, канонические, параметрические). Взаимное расположение двух прямых в пространстве (угол между двумя прямыми; условие параллельности двух прямых; условие перпендикулярности двух прямых). Взаимное расположение прямой и плоскости (угол между прямой и плоскостью, условия параллельности прямой и плоскости, условия перпендикулярности прямой и плоскости). Координаты точки пересечения прямой и плоскости; расстояние от точки до прямой; расстояние между параллельными прямыми; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.

Параметрические уравнения прямой:

Канонические уравнения прямой:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

Угол между прямыми:

Условие, при котором 2 прямые лежат в одной плоскости:

Угол между прямой и плоскостью:

- условие параллельности прямой и плоскости

- условие перпендикулярности прямой и плоскоси

Условие принадлежности прямой плоскости:

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых: m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0

Расстояние от точки до прямой::

 (12)

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпретация. Действия с комплексными числами (сложение, умножение, возведение в степень). Корни из комплексного числа. Корни из единицы. Множество точек комплексной плоскости. Предел последовательности комплексных чисел. Открытые, замкнутые, множества, односвязные, многосвязные области, ограниченные множества. Жорданова кривая на комплексной плоскости.

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел.

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль

r = | z |=и аргумент φ=arctg(y/x), то комплексное число z можно записать втригонометрической форме:

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: .

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра - формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа.

Сложение: (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)

Умножение: (x,y)*(x’,y’)=(xx’-yy’,xy’+yx’)

Корень из комплексного числа:

Простейшие множества точек на комплексной плоскости.

Примеры. а) |z-z0|=a (a>0) - окружность с центром в точке z0 радиуса a;

б) |z-z0|<a (a>0) - открытый круг с центром в точке z0 радиуса a;

в) |z-z0|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z0 радиуса a;

г) a<|z-z0|<b (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке z0 ;

д) arg(z-z0)= j - луч, с началом в точке z0, идущий под углом j к положительному направлению действительной оси.

е) a <arg(z-z0)<b - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z0 и углом раскрыва b -a .

ж) Re z= a - прямая, || мнимой оси, проходящая через точку (a,0);

з) Im z= b - прямая, || действительной оси, проходящая через точку (0,b);

Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел.

Члены последовательности (элементы) располагаются в порядке следования их номеров. Обозначение: {zn}.

Комплексное число z называется пределом последовательности {z_n }, если для " e >0 $ N(e ): п z_n-zп <e для " n >=N."

Обозначения: {zn} z; z_n=z.

(1) Множество. Объединение, пересечение множеств. Дополнение множества до универсального. Основные тождества алгебры множеств (законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, пустого и универсального множества, законы де Моргана, закон поглощения). Диаграммы Эйлера-Венна.

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества

Объединением двух множеств A и B называется множество A B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Универсальное множество

Если в некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества I, то это самое большое множество I называют универсальным множеством. Изображение универсального множества в виде областей в прямоугольнике называют диаграммой Эйлера-Венна.

Для универсального множества справедливо равенство: X U I=I

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и

Для любых двух множеств A и B основного множества E справедливы законы де Моргана.

Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна.

(2) Отображения. Инъективные, сюръективные, биективные отображения. Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества. Счетность множества целых и рациональных чисел. Пример несчетного множества.

Пусть U, V - непустые множества, - (однозначное) отображение из множества U в множество V, т. е. каждому элементусопоставляется элемент.

Отображение называется:

инъективным, если разные элементы в U при отображении f переходят в разные элементы в V (т. е. ),

сюръективным, если каждый элемент в V является образом некоторого элемента из U (т. е. , другими словами,),

биективным, если отображение f инъективно и сюръективно (т. е. ).

Два множества А и В называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , гдеN обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Множество натуральных чисел является счетно-бесконечным по определению. Это некий эталон, мощность которого определена как число. Счетно-бесконечными также будут все множества, для которых удастся доказать равномощность с множеством натуральных чисел. Для доказательства того, что множества равномощны, обычно используется какой либо способ, позволяющий поставить в соответствие каждому элементу рассматриваемого множества какое то натуральное число. Далее рассматривается «расширенное» множество натуральных чисел, включающее в себя стандартный ряд натуральных чисел (1,2,3,…) и число 0.

Будем обозначать множество натуральных чисел буквой N.

Множество натуральных чисел является также эффективно перечислимым (тоже по определению)

Счетность множества целых чисел

Целые числа расположим следующим образом 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …., n, -n, …

Тогда каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. , n, -n, …

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., 2n-1, 2n, …

Таким образом доказано, что множество Z равномощно множеству N, а значит оно счетно.

Для доказательства эффективной перечислимости множества Z необходимо установить тот факт, что все элементы множества Z могут быть перебраны по алгоритму и должны получить в результате такого перебора порядковые номера, причем без пропусков и повторений. Позже для некоторых случаев оговорка «без пропусков и повторений» будет снята, однако важным остается факт перечисления ПО АЛГОРИТМУ, т.е. неким регулярным образом.

Счетность множества рациональных чисел

Определим рациональное число как q=n/m, где n и m – целые числа, причем m не равно 0.

Рассмотрим сначала положительные рациональные числа и запишем их в виде бесконечной матрицы, строки и столбцы которой пронумерованы натуральными числами начиная с 1. Элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца получит наименование q_ij

Используя диагональный метод, перечислим их (пронумеруем натуральными числами):

q₁₁ q₂₁ q₁₂ q₁₃ q₂₂ q₃₁ q₄₁ q₃₂ q₂₃ q₁₄ q₁₅ q₂₄ q₃₃

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Т.о. каждое рациональное число получит соответствующий номер, что означает счетность множества рациональных чисел. Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами.

Примеры несчетных множеств:

1. Множество вещественных чисел.

2. Множество всех отображений, целых чисел в целые.

3. Множество всех подмножеств множества положительных

целых чисел.

(3) Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ , u₂ , u₃ , …, u_n - 1 , u_n , …, кратко обозначаемый { u_n }

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u_n = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов

Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { n } называется бесконечно малой, если _n 0 при n.Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и {n } есть бесконечно малая последовательность.

2. Б\м последовательность – ограниченна.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { an }, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an

(4) Сходящиеся последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл. Основные теоремы о сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Ограниченные числовые последовательности. Верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Сходимость последовательности при.

Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называетсясходящейся.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, чтоилипри n → ∞. Кратко это определение можно записать так:

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a. ε-окрестность точки a. Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем, а так какограничена, тои. Тогда в силу монотонности заданной последовательностив силу (1.2.1).

Поэтому , что означает.

Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.

Следствие.

Для того, чтобы монотонно возрастающая (убывающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу). Это следует из утверждения, что если последовательность имеет предел, то она ограничена , и из теоремы Вейерштрасса.

Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть , аПусть- наибольшее из чисел, т.е.. По определению,- ограничена.

Предельный переход в неравенстве.

Если для двух последовательностей ,всегда выполняется неравенство, причем каждая из них имеет конечный предел,,, то и.

Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ≥ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 ≤ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}). Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности.

Если последовательность {Xn}  R монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел в R .

(5)

Функция. Область определения, множество значений, способы задания функции. Простейшие свойства функций (ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность). Элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) и их графики.