Kursovik_Terver_25
.pdf
M (Y ) = |
1 |
, D(Y ) = |
q |
, отсюда |
|||
|
p2 |
||||||
|
|
p |
|
|
|||
M (Y ) = |
1 |
|
≈ 1,33 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
0,75 |
|
||||||
|
|
|
|
||||
D(Y ) = |
0, 25 |
≈ 0, 44 |
|
||||
2 |
|
||||||
|
0,75 |
|
|
|
|
||
Ответ: а)P(X > 3) = 0,0039, б)P(4 ≤ X ≤ 6) = 0,0038, M (Y ) = 1,34, D(Y ) = 0, 44
Задача 11.К киоску в среднем подходятα=25 покупателя в час. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 час.
λ = 25 − интенсивность потока (среднее количество покупателей в час)
X - случайная величина числа покупателей за 2 часа
Y - случайная величина числа покупателей за 1 час Найти : а)P( X < 2), б)P( X ³ 1), M (Y ), σ (Y )
Решение
Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Параметр распределения Пуассона:
a = λ × Dt = 25 × 2 = 50 . Теперь, используя формулу Пуассона, найдем искомые
вероятности: P( X < 2) = P(X = 0) + P(X =1) ; |
P( X ³1) =1- P( X = 0) . |
|||||||||
По формуле Пуассона: P( X = m) = |
am |
×e− a . |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m! |
|
||||
Тогда P( X = 0) = |
a0 |
×e− a = e−50 ; |
P( X = 1) = |
a1 |
×e− a = 50e−50 |
|||||
|
|
|||||||||
|
0! |
|
1! |
|
||||||
Теперь |
P( X < 2) = e−50 + 50e−50 = |
51 |
» 9, 94 ×10−21; P( X ³ 1) = 1 - e−50 » 1 |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
e50 |
|
|||
Для случайной величины Yпараметр распределения будет равен
a* = λ × Dt* = 25 ×1 = 25. Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:
M (Y ) = a* = 25; D(Y ) = a* = 25; σ (Y ) = 
25 = 5
Ответ: а)P( X < 2) = |
51 |
, |
б)P( X ³ 1) = 1 - |
1 |
, M (Y ) = 25, σ (Y ) = 5 |
|
e50 |
e50 |
|||||
|
|
|
|
Задача 12.Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 800+10α=1050 изделий окажется не более двух бракованных.
p = 0, 002 n = 1050
X − случайная величина числа бракованных изделий Найти : P( X ≤ 2)
Решение
Число изделии в партии велико, а вероятность бракованного изделия очень мала, рассматриваемые события (i-ое изделие оказалось бракованным) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
P( X = m) = am ×e− a , где a = np, отсюда m!
a = 1050 ×0, 002 = 2,1
P( X £ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = a0 ×e− a + a1 ×e− a + a2 ×e− a =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0! |
1! |
2! |
|
1 |
|
|
a2 |
|
|
1 |
|
|
2,12 |
|
|
|
||||
= |
|
|
× 1 |
+ a + |
|
|
= |
|
|
|
× 1 |
+ 2,1+ |
|
|
» 0, 65 |
|
|
e |
a |
2 |
|
e |
2,1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Ответ: P( X £ 2) |
= 0, 65 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 13.При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превыситα+10=35 см; б) будет лежать в пределах отα+5=30 см до 60 см. Найти м.о. и с.к.о. ошибки округления.
X R[0;50]
X − случайная величина ошибки округления Найти : a)P (0 ≤ X ≤ 35),
б)P (30 ≤ X ≤ 60), M ( X ), σ ( X )
Решение
Случайная величина Xимеет равномерное распределение с функцией распределения:
|
0, |
x < a |
|
0, |
x < 0 |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x - a |
|
|
|
||||
F (x) = |
|
, a £ x £ b Û F (x) = |
|
, 0 £ x £ 50 |
|||
|
|
||||||
b - a |
x > b |
|
50 |
|
x > 50 |
||
|
1, |
|
1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
P (0 £ X £ 35) = F (35) - F (0) = 35 - 0 = 0, 7 50
P (30 £ X £ 60) = F (60) - F (30) = 1- 30 = 0, 4
50
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение найдем из формул:
|
a +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
(b − a)2 |
||||
M ( X ) = |
σ( X ) = |
D( X ) = |
||||||||||||
|
|
, |
|
|
||||||||||
2 |
12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) = |
0 + 50 |
= 25 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(50 −0)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ ( X ) = |
|
= |
25 |
3 |
|
|
|
|
||||||
12 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: а)P (0 ≤ X ≤ 35) = 0, 7,
б)P (30 ≤ X ≤ 60) = 0, 4, M ( X ) = 25, σ ( X ) = 25
3 3
Задача 14.К киоску покупатели подходят в среднем через каждыеα=25 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менееα+2=27минут; б) отα+1=26доα+3=28 минут. Найти м.о. и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.
λ = 1 25
Найти : a)P (T ³ 27), б)P (26 £ T £ 28), M (T ), σ (T )
Решение
Выберем за единицу времени 1 минуту, тогда интенсивность пуассоновского потока покупателейλ = 1/25 чел/мин.
а) Вероятность P(T ³ t) того, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t определяется по формуле:
P (T ³ t ) = e-λt , t ³ 0
В нашем случае t = 27 мин:
( ) - 1 ×27
P T ³ 27 = e 25 » 0,340, t ³ 0
б) Вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке не меньше a и не большеbопределим по формуле:
P (a £ Т £ b) = e-λa - e-λb , т.е.
P (26 £ Т £ 28) = e- |
1 |
×26 |
- e- |
1 |
×28 » 0,027 |
25 |
25 |
Теперь найдем математическое ожидание: до 10 часов в среднем придут 3покупателя с промежутком в 25 мин (в 9.00,9.25, 9.50), следующий покупательпридёт уже после 10 часов, т.е. в 10.15 часов. Следовательно, τ = 15 мин. Тогда математическое ожидание находим по формуле:
M (Т ) = λτ = |
1 |
×15 = |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
25 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия : D (Т ) = λτ = |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
Ответ: а)P (T ³ 26) » 0,340, б)P (25 £ Т £ 27) » 0, 027, M (T ) = |
3 |
, |
D (T ) = |
3 |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
5 |
|
5 |
||||||
Задача 15.Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 2α = 50 и средним квадратическим отклонением α = 25 . Найти вероятность того, что ее значение а) будет отрицательным;б) будет лежать в пределах от -1 до 3;в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.
X N (a,σ )
M ( X ) = a = 50 σ = 25
Найти :
а) P( X < 0)
б) P(−1 ≤ X ≤ 3)
в) P( X − a ≤ 2)
Решение
а) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (α;β)определяется формулой:
P(α < X < β) = Ф |
β − a |
−Ф |
α − a |
|
, где |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
σ |
0 |
σ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
x |
− |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (x) = |
|
|
∫0 |
e 2 dz |
− функция Лапласа, значения которой находим |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по соответствующей таблице. Тогда |
|
||||||||||||||||
P( X < 0) = P(−∞ < X < 0) = Ф |
0 −50 |
|
+ 0,5 = |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
25 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= −Ф0 (2)+ 0,5 = −0, 4773 + 0,5 = 0,0227
б) Отметим свойства непрерывных случайных величин:
P(α < X < β) = P(α ≤ X ≤ β) = P(α < X ≤ β) = P(α ≤ X < β), следовательно
P(−1 ≤ X ≤ 3) |
= Ф |
|
3 |
−50 |
−Ф |
|
−1 |
−50 |
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|
||
≈ Ф0 (−1,88)−Ф0 (−2,04) = −0, 4699 + 0, 4793 = 0,0094
в) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в
интервал(a-ε; a+ε), симметричный относительно центра рассеянияa, найдем по формуле:
P( |
|
X - a |
|
< ε) = 2Ф |
|
ε |
, |
следовательно |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
||
P( |
|
X - a |
|
£ 2) = 2Ф |
|
2 |
» 2 × 0,0319 = 0,0638 |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
25 |
|
||
Ответ: а) P( X < 0) = 0,0227, б) P(-1 £ X £ 3) = 0,0094, в) P( X - a £ 2) = 0,0638
Задача 16.В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от α +100 =125 до 10α + 200 = 450 граммов. Считая, что масса яблока – случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя правило «трех сигм», найти
математическое ожидание и с.к.о. массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше α + 200 = 225 граммов.
X N (a,σ )
P(125 £ X £ 450) » 0,9973
Найти :
M ( X ) = a, σ, P( X > 225)
Решение
Запишем правило «трёх сигм»:
P( X − a < 3σ) = P(−3σ + a < X < 3σ + a) ≈ 0,9973
По свойству непрервных случайных величин имеем
P(125 ≤ X ≤ 450) = P(125 < X < 450) ≈ 0,9973
Найдем неизвестные параметры, решив систему уравнений:
-3σ + a = 125 |
|
2a = 575 |
|
a = 287,5 |
||||
|
|
|
|
|
325 |
|
||
|
Û |
|
(450 - a) Û |
|
|
|||
3σ + a = 450 |
σ = |
|
σ = |
|
» 54,17 |
|||
3 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем неизвестную вероятность, для чеговоспользуемся формулой вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:
P(α < X < β) = Ф |
β - a |
|
- Ф α - a |
, |
откуда |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
0 σ |
|
0 σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X > 225) = P(225 < X < +¥) = 0,5 - Ф0 |
|
225 - 287,5 |
|
» |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
325 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
» 0,5 + Ф0 (1,1538) = 0,5 + 0,3757 = 0,8757
Ответ: M ( X ) = a = 287,5, σ = 325 , P( X > 225) = 0,8757 6
Задача 17. Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для α=25 эта выборка имеет вид:
30 |
; |
28 |
; |
29 |
; |
27 |
; |
27 ; |
29 ; |
29 ; |
30 ; |
27 ; |
31 ; |
28 |
; |
29 |
; |
26 |
; |
28 |
; |
29 . |
|
|
|
|
|
По данной выборке требуется:
1)построить дискретный вариационный ряд
2)определить численное значение моды Mo и медианы Me
3)построить ряд распределения частот
4)построить выборочную функцию распределения и ее график
5)найти несмещенную оценку генеральной средней
6)найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения
Решение
1)Построим дискретный вариационный ряд. Для этого проранжируем (упорядочим в порядке возрастания) значения случайной величины X
26 |
; |
27 |
; |
27 |
; |
27 |
; |
28 ; |
28 ; 28 ; 29 ; 29 ; 29 ; |
29 |
; |
29 |
; |
30 |
; |
30 |
; |
31 . |
|
2) |
Определим численное значение моды Mo и медианы Me: |
||||||||
Мода – |
наиболее часто встречающееся значение признака. |
||||||||
Mo=29, т.к. это значение встречается здесь чаще всего, а именно 5 раз.
Медиана – возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части.
Ряд содержит нечетное число значений признака, поэтому медиана определятся по ее номеру:
N |
|
= |
n + 1 |
, где n |
– общее число членов ряда. Отсюда N |
|
= |
15 + 1 |
= 8, |
Me |
|
Me |
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Me = 29 , т.к. номеру 8 соответствует значение случайной величины, равное 29.
3)Построим ряд распределения частот.
Ряд распределения частот – таблица. В ее верхней строке - значение признака xi (варианта), в нижней строке частота варианты mi .
xi |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
mi |
1 |
3 |
3 |
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4) По |
ряду |
распределения |
частот |
построим выборочную функцию |
|||
|
|
|
|
ˆ |
|
mx |
|
распределения и ее график: |
F (x) = |
n |
, где mx – число вариант меньших х,n- |
||||
объем выборки. Объем выборки: |
n = 1+ 3 + 3 + 5 + 2 +1 = 15 . |
||||||
Найдем искомую выборочную функцию распределения: |
|||||||
|
0, |
при |
x ≤ 26 |
|
|
|
|
|
1 / 15, при 26 < x ≤ 27 |
|
|
|
|
||
|
|
|
при 27 < x ≤ 28 |
|
|
|
|
|
4 / 15, |
|
|
|
|||
ˆ |
|
|
при 28 < x ≤ 29 |
|
|
|
|
F (x) = 7 / 15, |
|
|
|
||||
|
12 / 15, |
при 29 < x ≤ 30 |
|
|
|
||
|
|
|
при 30 < x ≤ 31 |
|
|
|
|
|
14 / 15, |
|
|
|
|||
|
1, |
при |
x > 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График выборочной функции распределения:
5) Найдем несмещенную оценку генеральной средней.
Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя, определяемая по формуле
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∑ xi mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i =1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
где xi |
- индивидуальное значение признака (варианта). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Составим расчетную таблицу (с помощью программы MSExcel) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ п/п |
|
|
x |
|
m |
x m |
|
(x − |
|
)2 m |
|
|||
|
|
x |
i |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i i |
|
i |
|||
1 |
|
|
|
|
26 |
|
1 |
26 |
|
6,0844 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
27 |
|
3 |
81 |
6,4533 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
28 |
|
3 |
84 |
0,6533 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
29 |
|
5 |
145 |
1,4222 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
30 |
|
2 |
60 |
4,7022 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
31 |
|
1 |
31 |
6,4178 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
- |
|
15 |
427 |
25,7333 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ xi mi |
|
|
427 |
|
|
|
|
|
|
= |
i =1 |
= |
» 28, 47 |
|
|
||
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
n15
6)Найдем смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения. Смещенной и несмещенной оценками генеральной дисперсии служат соответственно выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия. Воспользуемся данными расчетной таблицы.
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ (xi - |
|
)2 mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D = |
i =1 |
|
|
|
|
= |
25, 7333 |
» 1, 7156 |
- смещенная (выборочная) дисперсия, тогда |
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
соответствующее среднеквадратическое отклонение σ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
D = |
|
|
|
» 1, 3098 |
|||||||||||||||
|
1, 7156 |
|||||||||||||||||||
S 2 = |
n |
|
D = |
|
15 |
×1, 7156 » 1,8381 - |
несмещенная (исправленная выборочная) |
|||||||||||||
n -1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
15 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дисперсия, тогда среднеквадратическое отклонение S = |
S 2 = |
|
» 1, 3558 |
|||||||||||||||||
1,8381 |
||||||||||||||||||||
Задача 18. Проведена серия из30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины. Для α=25 эта выборка имеет вид:
25 |
; |
30 |
; |
26,5 |
; |
31 |
; |
27,5 |
; |
25 |
; |
28 |
; |
29 |
; |
25,5 |
; |
27 |
; |
29 |
; |
28 |
; |
25,5 |
; |
30,5 |
; |
29,5 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
25 |
; |
28,5 |
; |
28 |
; |
26,5 |
; |
31 |
; |
26 |
; |
29 |
; |
30 |
; |
27 |
; |
28 |
; |
25 |
; |
28 |
; |
27,5 . |
|
По данной выборке требуется:
1)построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса;
2)определить численное значение моды Mo и медианы Me ;
3)дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты;
4)построить выборочную функцию распределения;
5)найти несмещенную оценку генеральной средней;
6)найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.
Решение
1)Для построения интервального вариационного ряда, проранжируем значения случайной величины Х
25 |
; |
25 |
; |
25 |
; |
25 |
; |
25,5 |
; |
25,5 |
; |
26 |
; |
26,5 |
; |
26,5 |
; |
27 |
; |
27 |
; |
27,5 |
; |
27,5 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28 |
; |
28,5 |
; |
29 |
; |
29 |
; |
29 |
; |
29,5 |
; |
30 |
; |
30 |
; |
30,5 |
; |
31 |
; |
31 . |
|
Определим размах вариации (т.е. разность между максимальным и минимальным значениями признака):
R = xmax − xmin = 31− 25 = 6
Количество групп (интервалов) по формуле Стерджесса:
m ≈1+ 3,322lg n =1+3,322lg30 ≈ 5,91,
гдеn – общее число единиц совокупности.
Принимаем m=6 (округляется всегда в большую сторону).
Теперь найдем величину интервала:
h = R = 6 = 1 m 6
Получаем интервальный вариационный ряд
|
Интервалы |
|
|
№ интервала |
случайной |
Частота,mi |
Накопленные частоты,Si |
|
величины(xi-xi+1) |
|
|
1 |
25-26 |
6 |
6 |
|
|
|
|
2 |
26-27 |
3 |
9 |
|
|
|
|
3 |
27-28 |
4 |
13 |
|
|
|
|
4 |
28-29 |
8 |
21 |
|
|
|
|
5 |
29-30 |
4 |
25 |
|
|
|
|
6 |
30-31 |
5 |
30 |
|
|
|
|
∑ |
- |
30 |
- |
|
|
|
|
2) На основании интервального рядапостроим вспомогательную таблицу
|
Интервалы |
|
Относите |
|
Плотность |
|
|||
|
|
Плотность |
относитель |
|
|||||
№ |
случайной |
Частота, |
льная |
Накопленные |
|||||
интервала |
величины( |
mi |
частотаPi |
частотыmi/ |
ной |
частоты,Si |
|||
частотыPi/ |
|||||||||
|
i |
i+1 |
) |
|
=mi/n |
h |
|
||
|
x -x |
|
|
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
25-26 |
|
6 |
6/30 |
6 |
6/30 |
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
26-27 |
|
3 |
3/30 |
3 |
3/30 |
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
27-28 |
|
4 |
4/30 |
4 |
4/30 |
13 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
28-29 |
|
8 |
8/30 |
8 |
8/30 |
21 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
29-30 |
|
4 |
4/30 |
4 |
4/30 |
25 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
30-31 |
|
5 |
5/30 |
5 |
5/30 |
30 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
- |
|
|
30 |
1 |
30 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим значения моды и медианы Наибольшая частота, равная 8, соответствует интервалу 28-29, т.е. мода должна
находиться в этом интервале и ее величину определим по формуле:
Mo = xMo |
+ h × |
|
PMo − PMo−1 |
, |
где |
|||
(PMo |
- PMo−1 ) + (PMo - PMo+1 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
xMo = 28 – |
нижняя граница модального интервала; |
|||||||
h =1 – длина частичного интервала; |
|
|
||||||
P = |
8 |
|
– относительная частота модального интервала; |
|||||
|
||||||||
Mo |
30 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
P(Mo−1) = 4 – относительная частота интервала, предшествующего модальному;
30
P(Mo+1) = 4 – относительная частота интервала, следующего за модальным.
30
|
|
|
|
|
8 |
- |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Mo = 28 +1× |
|
|
30 |
|
|
|
|
= 28, 5 |
||||||
( |
8 |
- |
4 |
) + ( |
8 |
- |
4 |
) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
30 |
30 |
|
30 |
30 |
|
|
||||||||
Место медианы