Если поле создается системой зарядов,
то, используя принцип суперпозиции,
получаем: |
|
1 |
|
qk q'. |
|
|||||
|
W |
|
|
(2.7) |
||||||
|
4πε |
|
||||||||
|
|
0 |
k |
r |
φ φk |
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
||||
Тогда и для потенциала |
q k |
k |
||||||||
или |
φ |
|
|
1 |
|
|
(2.8) |
|||
|
|
4 πε 0 |
|
rk |
||||||
|
|
|
|
k |
|
|||||
т.е. потенциал поля, создаваемый системой
зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов,
создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
А напряженности складываются при наложении51
полей – векторно.
Выразим работу сил
электростатического поля через
разность потенциалов между |
|
начальной и конечной точками: |
φ2 . |
A12 W1 W2 φ1q φ2q q φ1 |
Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала:A q 1 2 ,
за единицу φ принимают потенциал в такой точке(2.9)поля, для перемещения в которую из бесконечности
единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.
В СИ единица потенциала 1В 1Дж/1Кл
52
Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над
зарядом, равным заряду электрона при
прохождении им разности
потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ 1,6 10 19 Кл В 1,6 10 19 Дж.
2.4. Связь между напряженностью
ипотенциалом
Изобразим перемещение заряда q` по произвольному пути l в
электростатическом .
|
Работу, совершенную силами электростатического |
||
|
поля на бесконечно малом отрезке |
можно |
|
|
найти так: |
d l |
|
|
dA Fl dl |
El qdl, |
54 |
|
|
(2.10) |
|
dA Fl dl El qdl,
эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна
убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:
dA qdφ; |
El qdl qdφ |
|
|
El d |
|
отсюда |
||
|
|
dl (2.11 ) |
|
|
|
55
Для ориентации dl (направление
перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:
r |
r |
|
r |
|
r |
|||
E |
x |
i |
y |
j |
z |
k , |
||
|
|
|
|
|
|
|||
По определению градиента сумма |
||||||
|
первых производных от какой-либо |
|||||
|
функции по координатам есть |
|||||
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
градиент этой функции |
|
|
|||
|
grad |
grad x i |
y |
j |
z |
k , |
|
– вектор, показывающий |
|||||
|
направление наибыстрейшего |
|||||
|
увеличения функции. |
|
56 |
|
|
|
Коротко связь междуE и φ
записывается так:
E grad φ (2.12)
или |
E φ |
(2.13) |
где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.
57
2.5. Безвихревой характер
электростатического поля
Ротор вектора определим
следующим образом
|
r |
Е |
|
|
Е |
|
r |
|
|
|
|
Е |
|
|
Е |
|
|
|
r |
|
Е |
|
|
Е |
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
||||||||||||
rot Е |
|
|
z |
|
|
i |
|
|
x |
|
|
z |
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
|
z |
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Векторное произведение вектора оператора |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
градиента и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора напряженности электрического поля, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
или ротор |
Е |
|
можно |
|
записать |
|
через детерминант |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
rot Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
, Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еx |
|
Еy |
|
Еz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из условия |
E φ |
следует одно важное |
|||||||||||||||
соотношение, а именно, величина |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
[ ,E] |
|
|
|
|
|
|
для |
|||||
векторного произведения |
|
|
|||||||||||||||
стационарных электрических полей |
|||||||||||||||||
всегда равна нулю. Действительно, по |
|||||||||||||||||
определению, имеем |
|
i |
|
j |
k |
|
|||||||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ,E] |
|
|
|
|
|
|
|
φ 0 |
|||||||||
|
x |
|
y |
|
x |
|
y |
z |
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||||
|
φ |
φ |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
x |
|
y |
z |
|
|||||
поскольку определитель содержит59 две
одинаковые строки.
Величина[ ,E] называется ротором
или вихрем
Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:
r (2.14)
rotE 0
Таким образом кулоновское
электростатическое поле –
безвихревое.
60