Тогда вся работа равна:
2 r r (2.1)
A q (E,dl )
1
Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектораE
Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по
|
Edl 0. |
(2.2) |
|
произвольному замкнутому пути: |
|
Это утверждение и называют теоремой
о циркуляции . 41
Для доказательства теоремы разобьем
произвольно замкнутый путь на две
части: 1а2 и 2b1. Из сказанного выше
следует, что2 1
Edl Edl.
1 2
(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:
|
2 |
|
1 |
|
A q Edl q Edl q Edl 0. |
||||
|
1 |
|
2 |
|
42
Теорема о циркуляции позволяет сделать
ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам.
Рассмотрим простой пример, подтверждающий это заключение.
1)Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не
так, и какая-то линия |
– замкнута, то, взяв |
|
E |
|
|
циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же |
||
придем к противоречию с теоремой о |
E |
|
циркуляции вектора : |
|
. А |
Edl 0 |
|
|
в данном случае направление |
|
|
интегрирования в одну сторону, поэтому |
|
|
циркуляция вектора |
E |
|
не равна нулю. |
|
|
43
2.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия
Мы сделали важное заключение, что
электростатическое поле потенциально.
Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат –
потенциальную энергию.
44
Исходя из принципа суперпозиции
сил , |
F Fk |
|
|
|
k |
можно показать, что общая работа
А будет равна сумме работ каждой |
|
силы: |
A Ak . |
k
Здесь каждое слагаемое не зависит
от формы пути, следовательно, не
зависит от формы пути и сумма45 .
Работу сил электростатического
поля можно выразить через убыль
потенциальной энергии – разность двух
функций состояний:
|
A12 |
W1 |
W2 |
(2.3) Это |
||
|
выражение для работы можно |
|||||
|
переписать в виде: |
|
qq ' |
|
||
|
A12 |
qq ' |
|
(2.4) |
||
|
|
|
||||
|
|
4pe0r1 |
|
4pe0r2 |
|
|
Сопоставляя формулу (2.3) и (2.4), получаем
выражение для потенциальной энергии
|
заряда q' в поле заряда q: |
qq' |
|
|
|
W |
1 |
const(2.5) |
|
|
|
|||
|
4 0 |
r |
46 |
|
|
|
|||
2.3. Потенциал. Разность
потенциалов
Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так
далее. Однако отношениеW / q'
пр.
будет для всех зарядов одним и тем же.
Поэтому можно вести скалярную
величину, являющуюся энергетической характеристикойW
собственно поляφ –qпотенциал' . :47
Подставив в выражение для потенциала значение потенциальной энергии (2.5), получим для потенциала точечного заряда1 qследующее выражение: 4 0 r (2.6)
Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования48 .
Физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что
потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
1.Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду
разность потенциалов между
этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.
2. В практике электрических измерений часто полагают равным49
Разность потенциалов между точками 2 и 1
приращение потенциала |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
r |
r |
|
|
|
|
|
убыль |
2 1 |
E, dr |
r |
r |
|
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||
потенциала. |
|
1 |
2 |
E, dr |
|
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
численно равна взятой с обратным знаком |
|||||||||
|
работе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совершаемой силами поля, |
перемещении |
||||||||
|
при |
квазистатическом |
||||||||
единичного положительного заряда по любому пути из точки 1 в точку 2.