16. Формула Тейлора

Пусть функция имеет в окрестности точкинепрерывные частные производные дотой включительно. Тогда ее можно разложить в окрестности точкипо формуле Тейлора, где- точка, лежащая на прямой между точкамии.

17. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума

Опр.Функцияимеет в точкелокальный максимум (минимум), если. В случае строгих неравенств экстремумы называются строгими.

Теор. (Необходимое условие экстремума). Пустьимеет экстремум в точке, тогда, если существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю в этой точке.

Док.Зафиксируем все переменные крометой. Получим функцию однойтой переменной, которая имеет экстремум, а, значит, ее производная, согласно теореме Ферма, равна нулю. Теорема доказана.

18. Достаточное условие экстремума

Теор. (Достаточное условие экстремума). Пусть функцияимеет в окрестности точкинепрерывные частные производные второго порядка, и пусть. Тогда, если- положительно определенная квадратичная форма, то- точка строгого минимума, если- отрицательно определенная квадратичная форма, то- точка строгого максимума, если- неопределенная квадратичная форма, то в точкенет экстремума.

Док.Используя формулу Тейлора прии тот факт, что, запишем приращение функции.

Пусть является положительно определенной квадратичной формой, тогда в силу последнего утверждения найдется такое положительное число, что. Теперь приращение функции можно записать в виде. Последний член в неравенстве более высокого порядка малости при, чем предпоследний. Поэтому найдется окрестность точки, в которой предпоследний член превзойдет последний по модулю, и мы получим, то есть в точкебудет наблюдаться локальный минимум. Аналогично доказывается для отрицательно определенной квадратичной формы. Для неопределенной квадратичной формы доказывается методом от противного. Теорема доказана.

19. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.

Пусть задана функция и уравнения связи

Опр.Функцияимеет в точкеусловный максимум (минимум), еслии удовлетворяющим уравнениям связи выполняется неравенство. В случае строгих неравенств условные экстремумы называются строгими.

Прямой метод отыскания условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений связи можно выразить какие-либо переменных через остальныепеременных. Тогда, подставив их вполучим функциюпеременных. Задача отыскания условного экстремума сводится, таким образом, к отысканию обычного экстремума.

20. Теорема о неявной функции.

Теор.Пусть непрерывная функцияимеет в окрестности точкинепрерывные производныеи при этом,, тогда существует прямоугольникв котором функцияопределяеткак неявную функцию. Функция- непрерывно дифференцируема на интервалеи.