Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

mehanika

.pdf

Скачиваний:

104

Добавлен:

13.05.2017

Размер:

251.98 Кб

Скачать

☆

13 вопросов по курсу «Механика»

с ответами и пояснениями

Кинематика материальной точки

1. Материальная точка движется в плоскости xy по закону x(t) = At , y(t) = Bt 2 , где A и B - положительные постоянные. При этом Vy - проекция вектора скорости на ось y, ax - проекция вектора ускорения на ось x, a - модуль полного ускорения, aτ -модуль тангенциального ускорения. Укажите ошибочное соотношение:

А)	Vy = 2Bt	Б)	ax = 0	В)	a = 2B	Г)	aτ = 2B

Ответ: Г. Модуль скорости материальной точки при таком движении определяется выражением

V = A2 + 4B2t 2 .

Для тангенциального ускорения точки получаем

aτ =	dV	=	4B2t	.
	dt		A2 + 4B2t 2

Кинематика твердого тела

2. Диск катится равномерно без проскальзывания (см. рис.). Как направлены векторы скорости и ускорения точки А диска в системе отсчета, связанной с Землей?

А)	A v	Б)		A		В)	A
	a				v		a	v
	a		a		v		a	v

Ответ: Б. Качение диска без проскальзывания с постоянной скоростью V0 относи-

тельно Земли можно представить в виде наложения поступательного движения со скоростью V0 (вправо) и вращательного движения относительно оси диска с угловой скоростью ω (по часовой стрелке). Скорость любой точки диска равна векторной сумме скорости

вращательного движения Vrвр , величина которой для точек на периферии диска равна Vвр = ωR , и скорости поступательного движения V0 . Скорость нижней точки диска отно-

сительно Земли должна бытьrравна нулю, значит,

Vвр +V0 = 0

или

rV0 =Vвр .

В точке А диска векторы V0 и Vвр взаимно перпендикулярны, следовательно, скорость этой точки образует угол

π4 с направлением движения диска (см. рис.)

Ускорение любой точки на поверхности диска равно ускорению вращательного движения ω2R (т.к. поступательное движение происходит без ускорения) и направлено к центру диска.

A V0

Vвр V0

3. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β = 2t 2 (β , t – в единицах СИ). Какова зависимость угловой скорости от времени?

А)

ω= 2t3

Б)

ω = 2t3 / 3

В)

ω= 4t

Ответ: Б. Для нахождения угловой скорости тела проинтегрируем угловое ускоре-

ние по времени:

ω = ∫β(t)dt =

2t 3

+C .

Из начального условия (при t = 0 ω = 0) следует, что С = 0.

Динамика материальной точки

Частица массы m движется

по закону rr = At3 + Bt , где r - радиус-вектор, оп-

ределяющий положение частицы, A и B - постоянные векторы. Определите зависимость

силы F , действующей на частицу, от времени t.

А)

Б)

F = 3mAt 2

В)

F = 3At 2 + B

Г)

F =

3mAt 2 + mB

F = 6mAt

Ответ: Г. Из второго закона Ньютона имеем

F = m&rr& = 6mAt .

Частица

массы

момент t = 0

начинает двигаться под действием силы

Fx = F0 sin ωt

вдоль оси x из начала координат,

где F0 и ω - постоянные. Зависимость

проекции скорости тела Vx

от времени выражается формулой:

А)

(1−cosωt)

В)

sin ωt

mω

Б)

= −

cos ωt

Г)

cos ωt

mω

Ответ: А. Второй закон Ньютона в проекции на ось x прямоугольной декартовой системы координат имеет вид

m	dVx		= F sin ωt .

	dt				0

Отсюда		F0				F0
Vx =				∫	sin ωtdt = −		cos ωt +C .
		m				mω

Поскольку при t = 0 Vx = 0, окончательно получаем

Vx =

(1 −cos ωt).

mω

Законы сохранения импульса и механической энергии

r6.

rВ некоторый момент времени точечные массы m1,

m2 и m3 имеют скорости

V1 ,

V2 ,

V3 соответственно. Определите скорость VC

центра масс этой системы матери-

альных точек в данный момент.

А)

m V + m V

+ m V

В)

2V + m2V

+ m2V

VC =

1 1

2 2

3 3

1 1

3 3

m1 + m2 + m3

+ m

Б)

Г)

2V + m2V

+ m2V

VC =

1 1

3 3

m12

+ m22 + m32

Ответ: А. В соответствии с определением радиус-вектора центра масс системы

rrC = m1rr1 ++m2 rr2++ m3 rr3 . m1 m2 m3

Дифференцируя это равенство по времени, для скорости центра масс находим

r		m V + m V	2	+ m V
V	=	1 1 2		3 3	.

C		m1 + m2	+ m3

7. По гладкому горизонтальному столу движутся два одинаковых бруска, соединенные легкой растяжимой нитью. В некоторый момент времени величина скорости центра масс этой системы равна VС, а величина скорости первого бруска – V1, причем векторы VrC и V1 взаимно перпендикулярны. Определите для этого момента времени модуль векто-

ра скорости V2 второго бруска.

А)

Б)

В)

Г)

V =V +V

V2 =

4VC

+V1

= VC

+V1

2VC

+V1

2 C

Ответ: А. Очевидно, скорость центра масс системы двух одина-

ковых брусков определяется выражением

Vr =

V1 +V2

2VC

Тройка векторов V1 , V2 и 2VrC

для рассматриваемого момента времени

изображена на рисунке. Из рисунка видно, что

V2 = 4VC2 +V12 .

8. Материальная точка движется по окружности со скоростью V~t2. Работа силы, действующей на точку в течение времени t, A~tn. Найдите значение n.

А)

Б)

В)

Г)

3/2

Ответ: Б. Запишем зависимость скорости точки от времени в виде

V = αt 2 .

По теореме об изменении кинетической энергии работа силы равна приращению кинетической энергии материальной точки:

A =T	−T =	mV 2	=	mα2t 4	.

2	1	2		2

Следовательно, n = 4.

9. Первоначально покоившаяся частица под действием силы F =1i + 2 j +3k пе-

реместилась из точки с координатами (2, 4, 6) в точку с координатами (3, 6, 9). Найдите кинетическую энергию T частицы в конечной точке. Здесь F, координаты частицы – в единицах СИ.

А)

Б)

14 Дж

В)

42 Дж

Г)

28 Дж

Ответ: Б. Приращение кинетической энергии частицы равно работе действующей

на нее силы.

Умножая скалярно

силу

F на

перемещение

rr = xi + yj + zk =

=1i + 2 vj +3k , находим

T =1 1 + 2 2 +3 3 =14 Дж.

10. В шар массы М, висящий на нити длины l, по-

падает горизонтально летящая пуля массы m (см. рис.).

Шар после толчка поднимается на высоту H (H<l). Срав-

ните высоты подъема шара в двух случаях: 1) пуля за-

стревает в шаре; 2) пуля после удара падает вниз, поте-

ряв скорость. Скорость пули в обоих случаях одинакова.

А)

H1<H2

Б)

H1>H2

В)

H1=H2

Ответ: А. В первом случае законы сохранения импульса и механической энергии имеют вид

mV0 = (M + m)V1 ,

(M + m)V12 = (M + m)gH1 , 2

где V0 – скорость пули перед попаданием в шар, V1 – скорость шара с застрявшей в нем пулей сразу после удара.

Во втором случае эти законы могут быть записаны следующим образом: mV0 = MV2 ,

MV 2

2 2 = MgH 2 .

Здесь V2 – скорость шара после удара. Очевидно, что V1<V2. Поэтому H1<H2.

Динамика твердого тела

11. Точка A – центр масс тела массы m (см. рис.).	B	π/2	C
Через точки A, B, C, расположенные в плоскости рисунка,
Через точки A, B, C, расположенные в плоскости рисунка,
проведены параллельные оси, перпендикулярные этой
плоскости. Среди приведенных ниже соотношений между

моментами инерции тела относительно данных осей выберите верные.

А)

I B = I A + m

В)

IC = I B + m

Б)

IC = I A

Г)

I B = I A −m

Ответ: А, В. Равенство

I B = I A + m AB 2

выражает теорему Штейнера применительно к рассматриваемому случаю. Та же теорема позволяет записать

IC = I B + m AC 2 .

Поскольку

AC 2 = AB 2 + BC 2 ,

в результате получим

IC = {I A + m AB 2 }+ m BC 2 = I B + m BC 2 .

12. Твердое тело представляет собой невесомый стержень длины l, на концах которого закреплены точечные массы m и 2m. Найдите момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через сере-

дину стержня и составляющей угол α со стержнем (см. рис.).

А)	I =	3ml 2	cos2 α	В)	I =	3ml 2	cos α
	I =	2	cos2 α		I =	2	cos α
		2				2
Б)	I =	3ml 2		Г)	I =	3ml 2	sin 2 α
	I =	2			I =	4	sin 2 α
		2				4

Ответ: Г. В соответствии с определением момента инерции

l		2	l			2	3ml 2	sin 2
I = 2m		sin α	+ m		sin α	=			α .
	2			2			4

13. Два диска одинаковой толщины с равными массами, железный (1) и деревянный (2), вращаются под действием равных по модулю сил, касательных к ободам дисков. Сравните угловые ускорения дисков.

А)

β1> β2

Б)

β1< β2

В)

β1 = β2

Ответ: А. Уравнения движения железного и деревянного дисков имеют вид

12 mR12β1 = FR1 ,

12 mR22β2 = FR2 ,

где m – масса дисков, F – модуль приложенной силы, R1 и R2, β1 и β2 – радиусы и угловые ускорения железного и деревянного дисков соответственно. Поскольку R1<R2, то, очевид-

но, β1>β2.

Соседние файлы в папке Тесты

#
13.05.2017251.98 Кб104mehanika.pdf
#
13.05.2017404.2 Кб61page_1.jpg
#
13.05.2017493.17 Кб59page_10.jpg
#
13.05.2017457.19 Кб54page_11.jpg
#
13.05.2017400.73 Кб50page_12.jpg
#
13.05.2017458.51 Кб51page_13.jpg